三角形に内接する正方形の作図の仕方

質問

三角形に内接する正方形の作図の仕方
教えて!gooの中で類似の質問と回答がありました。
http://okwave.jp/qa/q1049706.html
この回答の中で，tarame様の回答について，線分PQが底辺BCに平行であることが証明されていません。
平行でなければ，内接するのは正方形でなく，単なる四角形になると思うのですが。
これが平行となる証明を教えて頂きたくお願いします。

回答No.4

htms42 · ベストアンサー

△ＸＢＺと△ＡＢＺについて
ＢＳ：ＳＺ　を求めると　ＸＢ：ＡＺ　に等しいことが出てきます。
　　ＸＢ：ＰＳ＝ＢＺ：ＳＺ・・・→ＳＺ＝ＰＳ・ＢＺ／ＸＢ
　　ＡＺ：ＰＳ＝ＢＺ：ＢＳ・・・→ＢＳ＝ＰＳ・ＳＺ／ＡＺ
　　ＢＳ／ＳＺ＝ＸＢ／ＡＺ

同様に、△ＹＣＺと△ＡＺＣについて
ＣＲ：ＲＺ　を求めると　ＹＣ：ＡＺ　に等しいことが出てきます。

ＸＢ＝ＹＣ＝ＢＣでしたから（＊）の式は出てきます。

お礼

ありがとうございます！
そうでした！△ＸＢＺと△ＡＢＺに注目すればいいのですね。
図形は，やはり，注目すべき領域が見えないと，解けないものですね，，，
私の拙い質問に対して丁寧なご回答を頂き，本当に，感謝します。

回答No.3

htms42

確かに証明はされていません。
ｔａｒａｍｅ様は作図の方法を示しているだけです。

正方形になっていることは自明ではありません。
三角形の頂点Ａから下ろした垂線の足Ｚから線を引いているということがポイントです。他の点から線を引いたのでは正方形はできません。だから証明ではＡＺを使います。

ＰＳとＱＳが平行であるということは分かっていますから
ＰＳ＝ＱＲ＝ＰＱを示せば正方形になります。
これは
ＢＳ：ＳＺ＝ＸＰ：ＰＺ＝ＹＱ：ＱＺ＝ＣＲ：ＲＺ
が成り立つことを示すと出てきます。
１番目の等式、３番目の等式はＸＢ，ＰＳ，ＱＲ，ＹＣが平行であるということからすぐに出てきます。
２番目の等式が成り立つと正方形になります。
相似形の関係を使うと
ＢＳ：ＳＺ＝ＣＲ：ＲＺ＝ＢＣ：ＡＺ　　　　（＊）
（ＢＣ＝大きい正方形の一辺の長さ）
が出てきます。
これでＰＱＲＳが正方形である事を示すことができます。
（＊）の証明はやってみてください。

補足

丁寧な回答，ありがとうございます。
ただ，一番肝心な（＊）がわかりません。
再度，これに答えて頂けると大変助かります。

回答No.2

OKXavier

四辺形PQRSで、１組の辺（PS,QR）が平行で、長さが等し
いので、四辺形PQRSは平行四辺形です。したがって、PQとSRは平行です。
因みに、RS=QRは相似を利用し簡単に示せます。

回答No.1

nag0720

分からないのは線分PQと底辺BCが平行かどうかだけでしょうか？

四角形PQRSで、
PS=QR=SR　かつ　PS⊥SR、QR⊥SR
であることが分かっていればPQとSRが平行であることはほとんど自明でもいいのではないですか。

あえて証明するなら、背理法でしょうか。