(1)スマートな導出方法がちょっと思いつきません。
とりあえず、次のように求めました。
扇の要をO,弧の両端をE,F、求める正方形の頂点をABCDとし、A,Bを2辺上、C,Dを弧の上にとる。(A,DがX側にあるとする)
弧の扇型の中心軸に対して求める正方形は線対称であるとします。
半径をr,OA=x,AB(=AD)=y,∠AOB=2θ,∠COD=2αとおく。
次の関係式が成り立つ。(自分で図を書いて確認してください)
y=2rsinα (1)
y=2xsinθ (2)
y=rcosα-xcosθ (3)
この関係式から、x,y,αのいずれかをr,θであらわし、その表式を作図することを考えればよい。
一番消去しやすいのはy,次にxのような感じなのでαを求めることとする。
(1)(2)から
rsinα=ysinθ (4)
{(1)+(2)}/2を(3)に代入すると
rsinα+ysinθ=rcosα-ycosθ→r(cosα-sinα)=y(sinθ+cosθ) (5)
(5)/(4)から
(cosα-sinα)/sinα=(sinθ+cosθ)/sinθ (6)
sinとcosが混在しているためこれでは何がなんだかわかりません。
分母分子をcosで割りtanであらわしてみますと、
1/tanα-1=1/tanθ+1→tanα=tanθ/(1+2tanθ) (7)
とここまで変形できました。後は、tanαを辺の長さから作り出せればよいわけです。
Eから中心軸におろした垂線の足をG,OG=z,XG=wとすると
tan=w/z であるから(7)に代入して
tanα=w/(z+2w) (8)
となる。このようなαを作図すればよい。
中心軸を作図するには角の2等分線を引けばよい。
中心軸上にOH=z+2wとなる点を取り、そこから長さwの垂線を引く。その点をI,JとするとB,Cは線分OI,OJと弧の交点として求まります。
途中の式の確認、この作図の意味、ならびにA,Dの作図方法は自分で考えてください。
(2) {n+n*(-1)^n}/2の収束・発散についてですがこれは(-1)^nがどのような動きをするか考えれば簡単です。
nが偶数と奇数で分かれるので、それぞれの場合の与えられた式を簡略化すれば自ずと見えると思います。
