x^x=2の解き方を教えて下さい

質問

高校２年生です。方程式　x^x=2　の解き方を教えて下さい。高校数学の範囲で解けますか？回答お願いします。

回答No.5

Knotopolog · ベストアンサー

x^x＝2 に関連した記事です．
ご参考までに，下記のサイトを覗いてみて下さい．

ランベルトのＷ関数
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E3%81%AEW%E9%96%A2%E6%95%B0

また，

x^x = 2

をそのまま，

Wolfram|Alpha Computational Knowledge Engine
http://www.wolframalpha.com/

へ入れて，〓 をクリックすると，x^x = 2 の解，

「ランベルトのＷ関数」が得られます．

the product log function
http://mathworld.wolfram.com/ProductLogFunction.html

http://www.mente.elac.org/faculty/deutschl/125_note_index/ch12/12_4.pdf

また，

the product logarithm function
を　Google　で検索して，探るのも一興です．

お礼

ありがとうございます。でも、x^x=z のランベルトのW関数を用いた解き方が分かりません。教えて下さい。

回答No.6

Knotopolog

ＡＮｏ.５のお礼欄の回答：

＃５です．

ランベルトのＷ関数の使い方としては，以下のサイト：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E3%81%AEW%E9%96%A2%E6%95%B0

の「方程式の求解への応用」の項を見て下さい．分かり易く，具体的に書いてありますから，分かるはずです．

因みに，x^x＝2　の解としては，x≒ 1.55961 ＜ x ＜ 1.55962 ≒x が得られます．

この解 x ≒ 1.55961 は，Wolfram|Alpha のグラフの赤い点へカーソルでポイントすると，赤い点の座標が（ 1.55961，2 ）と表示されます．試してみて下さい．

また，Approximate form をクリックすると，　x ～ 1.55961　が表示され，更に，More digits をクリックすれば，詳しい数値，x ～ 1.5596104694623693500　が表示されます．

試しに計算すると，　1.5596105^1.5596105 ＝ 2.00000009 となります．

お礼

ありがとうございます。やっと解くことが出来ました。

回答No.4

info22_

>実際にExcelで計算すると、1.559610469　まで求まりました。ニュートン法は昔から曖昧には知っていましたが、使ったのは初めてです。

実際の解き方が分かってよかったね。
高校の数学の範囲（初等関数を使って表わせる解が得られる範囲）では解けない方程式にこれからも出くわすでしょう。方程式をf(x)=0の形にしてy=f(x)のグラフの概形を書いて、解の個数やその解の大まかな近似値を初期値に使って、ニュートン法で数値近似解が得られます。この方法は解くことが困難な方程式の実数解を具体的に求める有力な方法ですので是非ものにしておいてください。

大学数学レベルだと大学で習う特殊関数を使って方程式の解を求めることができます。
　x=ln(2)/W(ln(2))
ここでW(x)はランベルトのW関数（特殊関数の1つ。参考URL参照）です。
これについては大学に進んでからのお楽しみです。

参考URL：

http://mathworld.wolfram.com/LambertW-Function.html

お礼

ありがとうございます。まだ知らないことも色々あるので、これからが楽しみです。

回答No.3

info22_

高校の数学では、解析的には解けません。
解けないけど、解は存在しますので、高校数学で習うと思いますが、
参考URLの数値計算法のニュートン法を使えば　xの数値解は容易に求められます。

y=f(x)=(x^x)-2
y'=(x^x)(log(x)+1)
としてy=f(x)はx＞1でy'＞0なので単調増加関数であり
かつ y=f(1)=1-2=-1＜0,y=f(2)=2^2 -2=2＞0なので
x≧1に実数解が1個のみ存在します。
解が1<x<2に存在するので、
初期値x0=1.5としてニュートン法を適用すると
x=1.55961046946236934997038876876500299328488351184309142471959456941...
など必要な有効桁数まで数値解が得られます。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/ニュートン法

お礼

ありがとうございます。実際にExcelで計算すると、1.559610469　まで求まりました。ニュートン法は昔から曖昧には知っていましたが、使ったのは初めてです。

回答No.2

FT56F001

数値的に解くとx=1.559610469ですが，
数学的にきれいな表し方はなさそうな気がします。

お礼

ありがとうございます。元の問題は(1/2)^x=xであり、それを変形してこの方程式にたどり着きました。グラフを描くと一つの実数解をもつことが分かるので、数学的に解けると思ったのですが、解けませんでした。何か別の解き方はないのでしょうか？

回答No.1

under12

両辺の対数を求め、さらにその両辺をxで微分すると・・・。
意外と簡単に求められる。但しこの場合、右辺が定数ならばなんでもいいので、
違うような気がするｗ

お礼

ありがとうございます。一般に、方程式の両辺を微分してはいけないのでしょうか？実際にこの方法で解いてみると、式変形によって全く違う値が出てきてしまいました。何かほかの方法を思いついたら教えて下さい。