高校2年の数学の問題がわかりません。分かる人いたら教えてください。

質問

高校2年の数学の問題がわかりません。分かる人いたら教えてください。
問題は方程式　2のx乗＝X+4は正の解と負の解をもつことを示せ。という問題です。
分かる人いたら回答よろしくおねがいします。（注）2のx乗というのはPCでのあらわし方がわからないので読みです。

回答No.4

alice_44

f(x) = 2のx乗 - (x+4) と置く。

f(3) = 2の3乗 - (3+4) = 1 > 0,
f(0) = 2の0乗 - (0+4) = -3 < 0,
f(-5) = 2の(-5)乗 - (-5+4) = 1/2の5乗 + 1 > 0
だから、「中間値定理により」、
0 < x < 3 の範囲と -5 < x < 0 の範囲に
それぞれ解が存在する。

老婆心：
近似値を求めることで解の正負を示したいなら、
近似の精度を求めて、誤差の範囲が 0 を跨がない
ことを証明しないと無意味です。

回答No.3

bgm38489

y=2^xとy=x+4に分けて、それぞれの関数のグラフを想像してみる。それらが、交点をどこに持つか。それが解となる。
y=2^xは、ｘ＝０のときｙ＝１で、ｘ＜０なら、限りなく0に近づき、ｘ＞０なら無限大に大きくなる。
y=x+4は、ｘ＝０のときｙ＝４で、傾き１の直線。
見えてきた？

回答No.2

info22_

2^x=x+4
と書きます。
これは2次方程式の解の公式のようには解けません。
グラフを描いて、大体の解の近似値を求め、
その近似値を初期値としてニュートン（ニュートン=ラプソン）法で数値計算で求めます。この方法は高校の教科書で習うはずです。

初期値xo=-4としてニュートン法で解くとx=-3.934601635699487
初期値xo=3としてニュートン法で解くと x= 2.756215330813889
と出てきます。

参考URL：

http://hagane.arch.kumamoto-u.ac.jp/hagane/yamanari/joho3/newton.html

回答No.1

Rice-Etude

y=2^x （=f(x)）＜＜ 「yイコール2のx乗」の意味です
と
y=x+4（=g(x)）
の二つの式に分けてグラフを書いてみると良いでしょう。グラフ上の交点が方程式の解になります。

ただし「正の解と負の解をもつことを示せ」ということなので厳密に求める必要はありません。
x=0の時、
f(0)=2^0=1
g(0)=0+4=4
なのでf(0)<g(0)となります。
あとは正のx、および負のxのどこかでf(x)>g(x)となるところがあれば、二つのグラフの大小が逆転している、すなわち交点が存在しているとなり、それが正のところと負のところで少なくとも2箇所あることから、正負両方に解が存在することになります。