ベクトル解析で（物理）

質問

速度場ｖ＝（Ａｙ、０，０）の流体を考えます。Ａ＝定数。
閉曲線Cが
ｒ＝（Rcosλ、Rsinλ、０）で与えられるときこのCに沿った循環
ｋ＝積分ｖ・ｄｌ
　＝積分（０～２π）v・（ｄｒ／ｄλ）ｄλ
　Rは定数。
を計算する方法を教えてください。
積分記号がパソコンで打ち出せなかったので積分とかきました。
そのまま代入したら変数ｙがでてきてしまい、計算できませんでした。

回答No.3

grothendieck · ベストアンサー

tessさん、こんにちは。速度のx成分がAy、y成分が0なので、
　∫c v・dl = A∫c y(x)dx
となります。ここで∫cは閉曲線Cに沿っての線積分、y(x)は曲線上でx座標がxのときのyの値を表わします。曲線CがX軸と点(a,0)と(b,0)で交わるとし(a<b)、X軸より上側の面積をS1、X軸より下側の面積をS2とします。線積分は反時計回りの方向に積分しますので、X軸より上側の曲線をC1とすると
　∫c1 y(x)dx
= ∫[b～a] y(x)dx = -∫[a～b] y(x)dx = -S1
X軸より下側の曲線をC2とすると
　∫c2 y(x)dx
= ∫[a～b] y(x)dx = -S2　(yがX軸より下にあるため)
これを合わせると曲線が囲む面積をSとしたとき
　∫c y(x)dx = -S
ところが、この曲線は半径Rの円なので積分を計算するまでもなく
　∫c v・dl = -AπR^2
一般には他の方が回答されているように計算する必要があります。

お礼

お世話になります。
ありがとうございます。
今、流体力学でこのような式がいっぱいでてきてぱにくっています。
ほんとうにすみませんでした。

回答No.2

siegmund

じゃ，私はストークスの定理を使う方法を．
ストークスの定理は
(1)　　∫_C (→v)・d(→l) = ∫_S rot(→v)・d(→S)
です．
(→v) はベクトルｖのつもり．
S は(1)の左辺の閉曲線 C を縁とする面で，
今は半径 R の円と思えばいいのです．
∫_S はその面についての面積分の記号．
(→S)は今の円に垂直な方向で，(1)左辺の線積分方向と右ねじ関係になるようにします．
つまり，今の話では(→S)は z 方向．
(2)　　rot(→v) = (0,0,-A)
ですから，(1)の右辺は
(3)　　-A ∫_S dS = -AπR^2　　(積分は円の面積になっている)
となります．
めでたく ElectricGamo さんのご回答と同じ結果になりました．

お礼

ありがとうございます。
ちょうどストークスの定理をならっています。
使いこなせるようにがんばりたいです。

回答No.1

ElectricGamo

経路C上ではy=Rsinλですよね。ですので経路Cでは速度はv=(ARsinλ,0,0) で、dr/dλ=(-Rsinλ, Rcosλ, 0) なので、非積分関数は

　v・(dｒ/dλ)=-AR^2(sinλ)^2

です。これを積分したのが循環なので

k=∫_0^{2π}v・(dｒ/dλ)dλ
　=∫_0^{2π}-AR^2(sinλ)^2dλ
　=-AR^2[x/2-1/4×sin2x]_0^{2π} = -πAR^2

お礼

応えていただいてありがとうございます。
積分、苦手なのでがんばります。
ありがとうございました。