極座標での回転体の体積

質問

はじめまして。satuchikoというものです。
分からない問題がありましたので質問させてください。。

問題は
極方程式r=f(θ)(α＜β)で表された曲線をCとし、
Cの両極点A,Bとする。ただし、0≦α＜β≦π/2で、Aはαに対応する。
Cと2線分OA,OBとで囲まれた部分の面積を始線の周りに回転して得られる立体の体積を積分であらわせ。
というものです。

私は、
r=f(θ+Δθ)を回転してできた円錐から、r=f(θ)を回転してできた円錐を引いて、ΔVを求めようと思いまして、
r=f(θ+Δθ)を回転して得られた円錐の高さと、r=f(θ)を回転して得られた高さを共にrcosθと近似して、
r=f(θ+Δθ)を回転して得られた円錐の半径はrsin(θ+Δθ)
r=f(θ)を回転して得られた円錐の半径はrsin(θ)として
ΔV = π/3*r^2sin^2(θ+Δθ)*rcosθ - π/3*r^2(sinθ)^2*r*cosθ ・・・(1)
と近似して、あとは、一次の近似式や(Δθ)^2の項は0とみなして計算していきますと、
ΔV = 2π/3*r^3sinθ*cos^2θ*Δθ
となったのですが、
答えはΔV = 2π/3*r^3sinθ*Δθとなっています。
答えはというと、
ΔV = π/3*r^2(cosθ)^2*tan^2(θ+Δθ)*rcosθ - π/3r^2(cosθ)^2*(tanθ)^2*rcosθ　・・・(2)
と近似しています。
その後、1次の近似式や(Δθ)^2$の項は0とみなして計算していくと、結局、
ΔV = 2π/3*r^3sinθ*Δθ
としています。
答えの言っていることは分かりますが、
私のやり方と異なっているので、私のやり方のどこがおかしいのか分かりません。
一番最初の(1)の式が根本的におかしいような気がしますが、
なぜいけないのかがわかりません。
どうかご教授お願いします。

回答No.1

eatern27 · ベストアンサー

多分、
r=f(θ)が表わす点と原点を結ぶ線分
r=f(θ+Δθ)が表わす線分と原点を結ぶ線分
曲線r=f(θ') (θ≦θ'≦θ+Δθ)
で囲まれる図形(Sとしましょう)を、始線の周りに回転させた立体の体積を求めるために、この立体の体積を
「r=f(θ+Δθ)の"下側"の三角形を回転させてできる円錐」から「r=f(θ)の"下側"の三角形を回転させてできる円錐」を引いたものと近似したんですよね。
結論から言ってしまえば、この近似の段階で、Δθに比例する項を無視してしまっているので、答えが違っています。

本質的ではないので、例えば、r＝f(θ)＝α(定数)の場合を考える事にして、始線周りに回転させる前の２次元の図形の面積Ｓを考える事にします。

この場合、「r=f(θ)の"下側"の三角形」は、「r=f(θ+Δθ)の"下側"の三角形」に含まれているわけではなく、ちょっと"飛び出て"いますよね。
この"飛び出て"いる分だけ、たくさん引き算してしまっているんですよね。もちろん、これがΔθ^2程度以下の面積なら問題ないのですが、そうではないので、決して無視できません。(幅がΔθ,高さがrsin(θ)程度ですので、面積はΔθのオーダーです。これを始線周りに回転させようが、該当する体積がΔθのオーダーである事に変わりありません。)

もし、仰るような考え方でやるのであれば、
・ちょっとだけ"飛び出て"いる分だけ、「r=f(θ)の"下側"の三角形」の方を削ってやる
・「r=f(θ)の"下側"の三角形」が飛び出ないように、「r=f(θ+Δθ)の"下側"の三角形」の方を大きくする
のようなことをやってやるのがいいでしょう。

回答No.3

eatern27

>>#2への補足
う～ん、それは#1に書いた事を読んでも解決しそうな事ですが、やはり、図を書けないと、分かりにくいですよね。
とりあえず、どの図形を回転させてできる円錐の体積を求めているのかを具体的に図示してみてるのがいいでしょう。

r=f(θ)で表わされる曲線の形は本質的でないので、何でもいいですが、変な曲線を考えても無意味なので、r=R(定数)のようなものを想定してください。

Oを原点
Aを極座標で(r(θ),θ)で表わされる点
Bを極座標で(r(θ+Δθ),θ+Δθ)で表わされる点
A,Bからx軸に下ろした垂線の足をC,D
Bから直線ACへ下ろした垂線の足をE
直線OBと直線ACの交点をF
直線OAと直線BDの交点をG
のようにします。

質問文にある
>ΔV = π/3*r^2sin^2(θ+Δθ)*rcosθ - π/3*r^2(sinθ)^2*r*cosθ ・・・(1)
の式は、三角形ＯＥＣを回転させてできる円錐の体積－三角形ＯＡＣを回転させてできる円錐の体積ですよね。大雑把に言えば、三角形ＯＢＥを回転させてできる円錐の体積だけの誤差がありますよね。この体積は、Δθのオーダーなので、正しい結果が出なかったのです。

同じように、
>ΔV=π/3*r^3*[{sin(θ+Δθ)}^2*cos(θ+Δθ)-{sin(θ)}^2*cos(θ)]
の式は、どの三角形を回転させてできる円錐の体積から、どの三角形を回転させてできる円錐の体積を引いたものなのかが分かるはずです。
この誤差もやはり、Δθに比例するので、正しい結果は出ません。

質問にある「答え」が、どの体積をもとに計算しているのかという事と、その誤差がΔθ^2の程度になりそうか(厳密な議論は不要)という事を確かめてもいいのかも。

お礼

どうもありがとうございます。
今、ちょっと図を描いてみてeastern27さんの言っていることが分かってきました。
#1での最後の段の内容が大事だったんですね。。
だからわざわざ解答はあのようにtanを使っていたりしたのですね。
どうもありがとうございました。。

回答No.2

eatern27

おっと、質問文はしっかり読むべきですね^^;
＞=f(θ+Δθ)を回転して得られた円錐の高さと、r=f(θ)を回転して得られた高さを共にrcosθと近似して、
#1に書いたような事は、ちゃんと考えてはいるみたいですね(すいません)

ところで、実際には、この円錐の高さは、rcos(θ+Δθ)なんですよね。で、この円錐の底面の半径は、rsin(θ+Δθ)なんですよね。
この円錐の高さをrcosθに伸ばした(or縮めた)のですから、当然、底面の半径も同じ比率だけ伸ばさないと(or縮めないと)円錐の形が変わってしまいますよね。
※Δθ^2の項を無視すると、rcos(θ+Δθ)＝rcosθ-rΔθsinθのようになります。これをrcosθで近似するという事は、Δθの項を無視している事になるので、このようは補正をしないと、"誤差"が無視できません。

この分の補正をしてやれば、
>答えはΔV = 2π/3*r^3sinθ*Δθとなっています。
と同じ結果になるはずです。

補足

返信どうもありがとうございます。
cos(θ+Δθ)で一次近似をつかってやってみました。

ΔV=π/3*r^3*[{sin(θ+Δθ)}^2*cos(θ+Δθ)-{sin(θ)}^2*cos(θ)]
sin(θ+Δθ)≒sinθ+cosθΔθ
{sin(θ+Δθ)}^2≒sin^2+2sinθcosθΔθ = sinθ(sinθ+2cosθΔθ)
cos(θ+Δθ)≒cosθ-sinθΔθ
より、
{sin(θ+Δθ)}^2*cos(θ+Δθ)
=sinθ(sinθ+2cosθΔθ)(cosθ-sinθΔθ)
=sinθ{sinθcosθ-(sinθ)^2*Δθ+2(cosθ)^2*Δθ}
=(sinθ)^2*cosθ-(sinθ)^3*Δθ+2sinθ(cosθ)^2*Δθ
となって、
(sinθ)^2*cosθは消えてくれるのですが、2sinθΔθうまく出てきません。
5回ぐらい計算の見直しはしましたが、
見落としていて計算ミスもあるかもしれません。
どこか間違っているでしょうか。