力学(単位ベクトルを用いた解法)

質問

(a) F = -ay i→ + ax j→
(b) F = ax i→ + ay j→

と力が上記のように現されるとき、経路を原点中心、半径Rの円として一周積分を計算しなさい。
一周積分は
r→ = (Rcos s) i→ ＋(Rsin s) j→　とおき。　ｓは０からπまで変化する。

という問題がありました。

高校のときの物理は１、２ともに履修しましたが数学がまったく手付かずで意味がわかりません。

保存力の件について上記の文章が問題として教科書に載っているのですが
保存力はある経路にてW1とその反対のW1'があったとき、これが０なら保存力であるという定義はわかっていますが数学的な解決方法でやるとどんな風にしていいのかわかりません。

ご面倒おかけいたしますがご教授お願い申し上げます。

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

多分

I=∫(0→Θ)F_・dr_

を計算せよということでしょう。

一周積分ではΘ＝2π

質問はΘ＝π

この点は確認してください。

dr_=(-Rsinsi_+Rcossj_)ds

(a)F_=-ayi_+axj_

F_・dr_=(ayRsins+axRcoss)ds

I=∫(0→Θ)F_・dr_=(0→Θ)[-ayRcoss+axRsins]=ayR(1-cosΘ)+axRsinΘ

Θ=2πでI=0

Θ=πでI=2ayR

(b)F=axi_+ayj_

F_・dr_=-axRsins+ayRcoss

∫(0→Θ)F_・dr_=(0→Θ)[axRcoss+ayRsins]=axR(cosΘ-1)+ayRsinΘ

Θ=2πでI=0

Θ=πでI=-2axR

お礼

解説まことにありがとうございます。
0からそれぞれ半周回すというニュアンスでその仕事を積分で求めるという形なんですね。
実際にどういう風に∫F・drという形にすればいいのかわからなかったので本当に助かりました。ありがとうございます。
今後とも是非御教授頂ければ幸いです。