三角関数の定積分

質問

(sinθ(d-rcosθ))/(d^2+r^2-2drcosθ)^(3/2)
をθで、0からπまで積分する、できるだけ詳しい解法を教えてください。
変数はθだけで、d,rはただの定数です。

sinθ(d-rcosθ)
割る
(d^2+r^2-2drcosθ)^(3/2)
です。

回答No.2

FT56F001 · ベストアンサー

>(sinθ(d-rcosθ))/(d^2+r^2-2drcosθ)^(3/2)
>をθで、0からπまで積分する。
x=cosθとおくと，dx=-sinθdθ

与式
=∫[θ=0→π] (sinθ(d-rcosθ))/(d^2+r^2-2drcosθ)^(3/2)dθ
=∫[x=1→-1]((d-rx))/(d^2+r^2-2drx)^(3/2)(-dx)
=∫[x=-1→1]((d-rx))/(d^2+r^2-2drx)^(3/2)(dx)
=[(dx-r)/(d^2+r^2-2drx)^(1/2)/d^2][x=-1→1]
=(d-r)/(d^2+r^2-2dr)^(1/2)/d^2-(-d-r)/(d^2+r^2+2dr)^(1/2)/d^2
=(d-r)/|d-r|/d^2+(d+r)/(d+r)/d^2
={1+1}/d^2=2/d^2

となるかと思います。

# info先生の答に比べて，簡単な答えになってしまったので，チョッピリ不安・・・

お礼

ご回答ありがとうございます。

回答No.3

info22_

#1です。

d>r>0の時(d,rは整数)
I=∫[0,π] (d-r*cosθ))/(d^2+r^2-2dr*cosθ)^(3/2)　sinθdθ
cosθ=yで置換積分
　-sinθdθ=dy, θ:[0,π]→ y:[1,-1]
I=∫[1,-1] (d-ry)/(d^2+r^2-2dry)^(3/2) (-1)dy
=∫[-1,1] (d-ry)/(d^2+r^2-2dry)^(3/2) dy
=(dy-r)/{(d^2)√(d^2+r^2-2dry)} [y:-1,1]
=2/d^2

お礼

ご回答ありがとうございます。

回答No.1

info22_

定数d,rの値によって被積分関数が大きく変わってしまいますので積分の仕方も全く変わってしまいますので、積分の一般解を1つの式では書けません。
問題のままだとd,rによる場合分けが必要になります。
明らかに r=d=0の場合は被積分関数が未定義になります。

d,rに具体的な数値を実際に与えて積分してみてはどうですか？
具体的なd,rの数値などがあるならその数値を使えば積分が解析的に求めることが出来る可能性があります。不可能な場合は数値計算をすればいいでしょう。

r=0,d≠0の場合
　∫[0,π] (sinθ)/(d*|d|) dθ=2/(d*|d|)
r=d=1の場合
　∫[0,π] (1/(2√2))sinθ/(1-cos(s))^(1/2) dθ=1
r=±1,d=0の場合
　∫[0,π] sin(s)(-rcos(s))dθ=0
など

お礼

ご指摘ありがとうございます。
d,rはともに正の定数で、d>rです。