立体の体積

質問

球面x^2＋y^2＋z^2＝a^2、円柱x^2＋y^2＝ay (a＞０）および平面ｚ＝０で囲まれた部分の体積についてです。答えは（π/3-4/9)a^3です。
ｘ＝ｒcosθ、ｙ＝ｒsinθとして ０≦ｒ≦asinθ ０≦θ≦π/2で2重積分すると、答えと一致しました。
しかし、はじめ自分は、０≦θ≦πで計算していたため一致しませんでした。何故０≦θ≦π/2となるのでしょうか？
教えて下さい。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

>何故０≦θ≦π/2となるのでしょうか？

立体がyz平面に対称だから
θで言えばyz平面がθ=π/2に対応しますので
０≦θ≦π/2の部分の体積積分
と
π/2≦θ≦πの部分の体積積分
が同じになりますから
それぞれが全体の体積Vの1/2です。
だから、
０≦θ≦π/2の部分の体積積分を計算して2倍すれば
全体の体積になります。

>はじめ自分は、０≦θ≦πで計算していたため一致しませんでした。
π/2≦θ≦πの部分の体積積分の計算が間違っているからでしょう。
> =2∫[o→π]{∫[o→asinθ]r√（a^2-r^2)dr}dθ
>　r^2=tと置換して
>　=∫[o→π]{∫[0→a^2sin^2θ]√(a^2-t)dt}dθ
この式で間違い↑
正しくは
=∫[0→π]{∫[0→a^2sin^2θ]{√(a^2-t)}(1/2)dt}dθ

>　=2a^3/3∫[0→π]（１-cos^3θ）dθ
この式でも間違い↑
=∫[0→π]{∫[0→a^2sin^2θ]{(a^2-t)^(1/2)}(1/2)dt}dθ
=∫[0→π]{[(-2/3)(a^2-t)^(3/2)][0→a^2sin^2θ]}(1/2)dθ
=∫[0→π]{(-1/3)[(a^2-t)^(3/2)][0→a^2sin^2θ]}dθ
=∫[0→π]{(1/3)[(a^3)-(a^3)(1-sin^2θ)^(3/2)]}dθ
=∫[0→π]{(1/3)(a^3)[1-(cos^2θ)^(3/2)]}dθ
=(1/3)(a^3)∫[0→π]{1-|cosθ|^3}dθ
ここでθが[0→π]の範囲でcosθが正から負に変化しますから
0≦θ≦π/2では|cosθ|=cosθ
π/2≦θ≦πでは|cosθ|=-cosθ
なので以降の式は
θで
0≦θ≦π/2の積分と
π/2≦θ≦πの積分を
分割して積分しないといけません。
立体の対称性から、前半の体積の2倍してもいいですし
π/2≦θ≦πの積分を
=(1/3)(a^3)∫[0→π]{1+(cosθ)^3}dθ
で積分すれば良いですね。
これを分割して積分しないため
(cosθ)^3の部分の積分が（奇関数なので）±打ち消してゼロになって
以降の積分がおかしくなります。

>cos^3θ=(1-sin^2θ)cosθとしてsinθ＝ｐと置換して
>　=-2a^3/3∫[0→π]cosθdθ＋2a^3/3∫[0→0]p^2dp＋
　　2a^3/3∫[0→π]1dθ　・・・＊

お礼

絶対値記号をつけることに気づきませんでした(-_-;)
助かりました、ありごとうございます！

回答No.1

noname#111804

貴方の最初のできなかった解答の計算過程を示してください。
また、回答書どうりにやったうまくいった計算過程も示してください。

補足

０≦θ≦πの場合
V=2∬[D]√(a^2-x^2-y^2)dxdy
=2∫[o→π]{∫[o→asinθ]r√（a^2-r^2)dr}dθ
　r^2=tと置換して
　=∫[o→π]{∫[0→a^2sin^2θ]√(a^2-t)dt}dθ
　=2a^3/3∫[0→π]（１-cos^3θ）dθ
cos^3θ=(1-sin^2θ)cosθとしてsinθ＝ｐと置換して
　=-2a^3/3∫[0→π]cosθdθ＋2a^3/3∫[0→0]p^2dp＋
　　2a^3/3∫[0→π]1dθ　・・・＊
　=2a^3π/3　答えと一致しない。
　０≦θ≦π/2の場合
＊について
　　-2a^3/3∫[0→π/2]cosθdθ＋2a^3/3∫[0→1]p^2dp＋
2a^3/3∫[0→π/2]1dθ　
=（π/3-4/9)a^3 　答えと一致します。