線積分？

質問

次の曲線Cの長さs=∫[C]√(dr•dr)を求めよ。ただし、aはa>0なる定数とし、drのrはベクトルである。
(1) 放物線:y=x^2 (0≦x≦1)
(2)心臓系:r=a(1+cosθ) (0≦θ≦2π)

です。これって、線積分なのか良くわからないのですが、途中式もお願いします。

回答No.2

info222_ · ベストアンサー

No.1です。

つづいて
(2)

s=∫[C] √(dr^2+r^2*dθ^2)
=∫[0,2π] √(r^2+(r')^2) dθ
=2∫[0,π] √(a^2*(1+cosθ)^2+a^2*(-sinθ)^2) dθ
=2a∫[0,π] √(2+2cosθ)dθ
=2a∫[0,π] (4(1+cosθ)/2)^(1/2)dθ
=2a∫[0,π] 2cos(θ/2)dθ
=4a [2sin(θ/2)][0,π]
=8a …(答)

回答No.1

info222_

まず
(1)だけ

放物線:y=x^2 (0≦x≦1)
s=∫[0,1] √{1+(y')^2} dx
=∫[0,1] √(1+4x^2) dx
=[(x/2)√(1+4x^2)+(1/4)sinh^-1(2x)][0,1]
=(1/2)√5 +(1/4)sinh^-1(2)　…（答1）
または　sin^-1(2)を自然対数に直せば
=(1/2)√5 +(1/4)ln(2+√5) …(答2)
(ln(x)は自然対数)