数学の問題です

質問

（１）平面ｘ＋ｙ/2+z/3=1と三つの座標平面とで囲まれる三角錐の体積を２重積分を用いてもとめよ。

（２）｜ｘ｜<=1,-1<=y<=2の領域を図示せよ

どのように計算したらいいのかわかりません
みなさまの力をお貸しください
できましたら途中式も

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

(1)
V=∫[0,2] {∫[0,1-(y/2)] 3(1-x-(y/2))dx}dy
=∫[0,2] 3{[x-(x^2/2)-(xy/2)](x=1-(y/2))}dy
=3∫[0,2] {1-(y/2)-(1/2)(1-(y/2))^2-(y/2)(1-(y/2))}dy
=3∫[0,2] (1/2)(1-(y/2))^2 dy
=(3/8)∫[0,2] (y-2)^2 dy
=(3/8) {[(1/3)(y-2)^3](x=2)-[(1/3)(y-2)^3](x=0)}
=(1/8){0+8}=1
または
V=∫[0,1] {∫[0,2-2x] 3(1-x-(y/2))dy}dx
=∫[0,1] {3[(1-x)y-(1/4)y^2](y=2-2x)}dx
=3∫[0,1] {2(1-x)^2-(1-x)^2}dx
=3∫[0,1] (1-x)^2 dx
=3∫[0,1] (x-1)^2 dx=3{[(1/3)(x-1)^3](x=1)-[(1/3)(x-1)^3](x=0)}
=0+1=1
のどちらの重積分でも体積V=1が出てきますね。

(2)
x=-1とx=1の間の領域、かつ　y=-1とy=2の間の領域の長方形の共通領域で境界を全て含む領域を図示すれば良いです。

回答No.2

MarcoRossiItaly

1.
どの文字でもいいですから、1つの座標平面と平行な平面で三角錐を切断したときの切断面の面積を計算してください。
例えばあるzで切断すると考えると、zが定数だと考えれば計算できそうですね？
zが定数ということは、変数がxとyだけの1次式ということです。
面積が計算できそうですね？
yをxで積分するか、xをyで積分するか、お好きなほうで。

これにより1個目の∫を書くことになります。

2.
残った文字、上の場合で言えばzですが、上の面積にdzを掛けると、dVになりますよね？
（Vは体積のこと）
だからzで積分すれば、全体の体積になりそうですね？

これにより2個目の∫を書くことになります。
ですから、重積です。

なおNo.1さんはdV=zdxdyだと考えて計算されています。
アプローチは違っても、行う計算は同じになります。

回答No.1

gohtraw

（１）
この平面と各座標軸の交点はＡ（１，０，０）、Ｂ（０，２，０）、Ｃ（０，０，３）です。イメージとしては、Ａ、Ｂおよび原点を頂点とする直角三角形の範囲でｚを積分するということになります。従って

∬ｚｄｘｄｙ＝∬（－３ｘ－３ｙ／２＋３）ｄｘｄｙ
を計算すればいいことになりますが、積分の範囲は
ｘの範囲は０から１
ｙの範囲は０からー２ｘ＋２　（上記のＡおよびＢを通る直線）
となります。以下、積分範囲は省略します。従って一番上の式は
∫ｄｘ∫（－３ｘ－３ｙ／２＋３）ｄｙ
となります。∫（－３ｘ－３ｙ／２＋３）ｄｙはｘを定数と考えて
∫（－３ｘ－３ｙ／２＋３）ｄｙ＝［－３ｘｙ－３ｙ＾２／４＋３ｙ］　（ｙは０からー２ｘ＋２）
　　　　＝－３ｘ（－２ｘ＋２）－３（－２ｘ＋２）＾２＋３（－２ｘ＋２）
　　　　＝３ｘ＾２－６ｘ＋３
なので、
∫ｄｘ∫（－３ｘ－３ｙ／２＋３）ｄｙ＝∫（３ｘ＾２－６ｘ＋３）ｄｘ　（ｘは０から１）
　　　　　＝［ｘ＾３－３ｘ＾２＋３ｘ］（ｘは０から１）
　　　　　＝１－３＋３＝１
となります。

（２）
｜ｘ｜＜＝１というのはｘの絶対値が１以下ですからー１＜＝ｘ＜＝１ということです。もっといえば直線ｘ＝－１とｘ＝１に挟まれた領域および境界線上ですね。
同様にー１＜＝ｙ＜＝２は直線ｙ＝－１とｙ＝２に挟まれた領域および境界線上です。
この二つの領域の重なりが求める領域です。