立体の体積 極座標 （二重積分）

質問

次の立体の体積を求めよ。

(1)曲面z=4-(x^2)-(y^2)とxy平面で囲まれた立体
(2)球(x^2)+(y^2)+(z^2)=4が、円柱(x^2)+(y^2)=2xで切り取られる部分。
二重積分と極座標を用いるってのはわかりましたが、半径をr,角度をθとすると、それらの積分区間がわかりません。よろしくお願いします。

回答No.2

gef00675

> （１）は0<=r<=2, 0<=θ<=2πと出たんですがいいでしょうか？

そうです。

（２）円柱の底面は球の内部にあるので、積分領域は、
0≦r≦1, 0≦θ≦2πです。

回答No.1

gef00675

(1) xy平面とはz=0なる平面のことだから、∬zdxdyの積分領域は
4-(x^2)-(y^2)≧0
になる。x,yを極座標
x=r*cosθ
y=r*sinθ
に変換して積分を計算する。

(2)z≧0の部分の体積を考えて２倍する。2∬zdxdyの積分領域は、
(x-1)^2+(y^2)≦1。
この領域を極座標で表す。
x-1=r*cosθ
y=r*sinθ
として、
　　z=√(4-(x^2)-(y^2))=√(4-((r*cosθ+1)^2-(r*sinθ)^2))
　　　=√(3-2r*cosθ-r^2)
を積分する。

お礼

回答ありがとうございます。
積分区間についてなんですが
（１）は0<=r<=2, 0<=θ<=2πと出たんですがいいでしょうか？
（２）の積分区間はどうなるんでしょうか？
0<=r<=1, 0<=θ<=π/2でいいでしょうか？