大学の数学の問題です。

質問

次の問題を教えていただけないでしょうか。

a(≧0),z0を定数とする。D={(x,y,z)|x^2+y^2+z^2≦a^2}として、以下の３重積分(写真)を考える。

(1)積分を空間の極座標(球座標)(r,θ,Φ)に変数変換せよ。

(2)積分を実行しUを求めよ。

回答No.1

yyssaa

(1)積分を空間の極座標(球座標)(r,θ,Φ)に変数変換せよ。
＞x=rsinθcosφ、y=rsinθsinφ、z=rcosθ、dxdydz=r^2sinθdrdθdφ
とすると、x~2+y^2+z^2=r^2だから
U=∫∫∫(D)1/√{x^2+y^2+(z-z0)^2}dxdydz
=∫[0→2π]∫[0→π]∫[r=0→a]r^2sinθ/√{r^2-2z0rcosθ+z0^2}drdθdφ
(2)積分を実行しUを求めよ。
＞U=∫[0→2π][∫[0→π]∫[r=0→a]r^2sinθ/√{r^2-2z0rcosθ+z0^2}drdθ]dφ
=2π∫[0→π]∫[r=0→a]r^2sinθ/√{r^2-2z0rcosθ+z0^2}drdθ
=2π∫[r=0→a][∫[0→π]r^2sinθ/√[2z0r{(r^2+z0^2)/2z0r-cosθ}]dθ]dr
=2π∫[r=0→a]r^2/√(2z0r)[∫[0→π]sinθ/√{(r^2+z0^2)/2z0r-cosθ}dθ]dr
ここで(r^2+z0^2)/2z0r=f(r)とおくと、
U=2π∫[r=0→a]r^2/√(2z0r)[∫[0→π]sinθ/√(f-cosθdθ)]dr
ここで∫sinθ/√(f-cosθ)dθを計算すると
f-cosθ=tとしてsinθdθ=dtから
∫sinθ/√(f-cosθ)dθ=∫1/√tdt=2t^(1/2)+C(定数)=2√(f-cosθ)+Cなので
∫[0→π]sinθ/√(f-cosθdθ)=2√(f-cosπ)-2√(f-cos0)
=2√(f+1)-2√(f-1)、fを戻して
U=2π∫[r=0→a]r^2/√(2z0r)[2√{(r^2+z0^2)/2z0r+1}-2√{(r^2+z0^2)/2z0r-1}]dr
=2π/z0∫[r=0→a]r{√(r^2+z0^2+2z0r)-√(r^2+z0^2-2z0r)}dr
=2π/z0∫[r=0→a]r{√(r+z0)^2-√(r-z0)^2)}dr
(ア)z0≧aのときU=2π/z0∫[r=0→a]r{(r+z0)-(z0-r)}dr
=(4π/z0)∫[r=0→a]r^2dr=(4π/z0)(a^3/3)=(4/3)πa^3/z0
(イ)a＞z0＞0のときU=2π/z0∫[r=0→z0]r{(r+z0)-(z0-r)}dr
+2π/z0∫[r=z0→a]r{(r+z0)-(r-z0)}dr
=4π/z0∫[r=0→z0]r^2dr+4π∫[r=z0→a]rdr
=4πz0^2/3+2π(a^2-z0^2)=2πa^2-2πz0^2/3
(ウ)0≧z0＞-aのときU=2π/z0∫[r=0→-z0]r{(-r-z0)-(r-z0))}dr
+2π/z0∫[r=-z0→a]r{(r+z0)-(r-z0))}dr
=-4π/z0∫[r=0→-z0]r^2dr+4π∫[r=-z0→a]rdr
=4πz0^2/3+2π(a^2-z0^2)=2πa^2-2πz0^2/3
(エ)-a≧z0のときU=2π/z0∫[r=0→a]r{(-r-z0)-(r-z0))}dr
=-4π/z0∫[r=0→a]r^2dr=(-4π/z0)(a^3/3)=-(4/3)πa^3/z0