重積分の体積

質問

重積分の体積の問題で分からないものがあります。
どなたか解説頼みます(__

(1)Z=2-x^2-(y/2)^2とxy平面で囲まれる立体の体積を求めよ。
(2)2曲面Z=x^2+y^2-1とZ=-2x^2-2y^2で囲まれる立体の体積
(3)球x^2+y^2+z^≦a^2と円柱x^2+y^2≦axの共通部分。ただしa>0。

(1)まず与えられた式を立体に図示できないのですが、それぞれどんな形の式になるのでしょうか？
(2)図示できなので範囲もわからないです^^;

それさえできればあとは積分するだけですよね？

(1),(2)の疑問を解説して下さい(__

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

#1,#2です。

(1)
(1)も立体の図を作りましたので添付します。

A#1で書いた積分はできましたか？

当方の計算では「V=4π」と出ています。

(2)
当方の計算では「V=π/6」と出ています。

回答No.2

info22_

#1です。

A#1の回答の文頭が欠如してしまいました。
先頭の「の」を削除するか
「被積分関数と積分領域」を文頭に補うかしてください。

(2)の補足
A#2のdxdyの逐次積分は
x=r*cos(t),y=ｒ*sin(t)と極座標に変換すると簡単に積分できるでしょう。
(2)の立体の形状の図を添付します。

回答No.1

info22_

の対称性を使うことで積分範囲を限定して積分が出来ます。

(1)
Z=一定とおけば（水平面でカットすれば）楕円の断面、
x=一定またはy=一定とおけばZ軸の上向きに凸の放物線の断面
となる立体です。立体の体積Vは以下の積分によって表せる。
V=4∫[0,√2][∫[0,2√(2-x^2)]{2-x^2-(y/2)^2}dy]dx
積分はやってみて下さい。
分からなければ、途中計算を補足に書いて分からない箇所だけ
質問して下さい。

(2)
水平断面は共に円形断面、前の曲面の「Z軸方向断面は上に凸の放物面」と
後ろの曲面の「下に凸の放物面」によって囲まれた立体で、体積Vは
V=4∫[0,1/√3]∫[0,√{(1/3)-x^2}] {(-2(x^2+y^2)-(x^2+y^2-1)}dy]dx
=12∫[0,1/√3]∫[0,√{(1/3)-x^2}] {(1/3)-(x^2+y^2)}dy]dx

(3)
a=2とした場合の類似題と解答が以下にありますので参考にして下さい。
http://www.shimanet.ed.jp/minami/link/homepage-naga005/grapes-001/viviani-all-volume005.pdf

お礼

図まで付けていただきありがとうございました(__
おかげで理解できました(__