二重積分使えますか？

質問

座標空間での体積を求める問題で、二重積分を使って解けるものなのか調べてましたができません。質問させてください。
x^2 + y^2 ≦ 1　y^2 + z^2 ≧ 1　z^2 + x^2 ≦ 1　をみたす立体の体積です。分かる方いらっしゃいましたら是非ご回答お願いします。

回答No.3

stomachman

ANo.2の方針の続きです。

　x^2+y^2≦1 と　x^2+z^2≦1 の共通部分は、|x|≦1, |y|≦1, |z|≦1の立方体の中に収まっている。そのうちで
1≧ y ≧ z ≧ 0, x≧0
の部分だけを見ると、対称性からこれは全体の1/16の体積を持ち、そして、
　x^2+z^2 ≦ x^2+y^2 ≦1
であるから、x^2+y^2 ≦1でありさえすればx^2+z^2≦1 という条件は自動的に満たされるので、
√(1-y^2) ≧ x ≧ 0
である。

　では、もう一つの円柱面でこれを切り取りましょう。すなわち
1 ≧ y ≧ z ≧ 0, y^2 + z^2 ≧ 1
の領域について
x(y,z) = √(1-y^2)
を積分する、ということを素直に書いてみれば、（y=z と y^2 + z^2=1の交点に注意して）二重積分
J = ∫{(√2)/2～1}( ∫{√(1-y^2)～y} x(y,z) dz )dy
という表式が得られることをご確認ください。（ここで、∫{a ～b} とは、定積分の下限がa, 上限がbであるという意味です。）

さて、x(y,z)はzに依らないのだから、内側の積分の外に出せて、
J = ∫{(√2)/2～1}(√(1-y^2))( ∫{√(1-y^2)～y} dz )dy
これをゴリゴリ計算する。

補足

返信遅くなりましてすみません。ずっと計算できるか考えておりましたところ、積分領域の範囲が√(1-y^2)～y　と　√2/2～1　になることが分かりました。もう少し計算を進めてみます。

回答No.2

stomachman

もし
x^2 + y^2 ≦ 1、 z^2 + x^2 ≦ 1
の領域の体積というだけなら、形の対称性から、{(y,z) が(0,0), (1,0), (1,1)の三角形の中}を積分範囲として、 z^2 + x^2=1、x≧0 を満たすxを積分すれば分かります。（点(y,z)=(0,0)を除いて、この三角形の中では常にx^2 + y^2 ＜ 1なので、x^2 + y^2 ≦ 1という条件は自動的に満たされており、考えなくて良い。）

　すると、
x^2 + y^2 ≦ 1、 z^2 + x^2 ≦ 1 、y^2 + z^2 ≧ 1　
の領域の体積を計算するには、{(y,z) が(0,0), (1,0), (1,1)の三角形の中}∩{y^2 + z^2 ≧ 1}を積分範囲として、z^2 + x^2=1、x≧0 を満たすxを積分。

　だから出来るでしょう、たぶん。

補足

ご回答ありがとうございます。
stomachmanさんの方法ですと、極座標への変数変換が不要で円柱が２本の場合の求積がスムーズに処理できました。ありがとうございます。
しかし、本題の円柱が３本の場合ですと、どうしても円周率πが出てきて正しい答え（8√2-32/3）になりませんでした。計算が間違っているかもしれませんのでもう少し考えてみます。もし何か分かりましたらお教えください。よろしくお願いします。

回答No.1

sunsetrigh

実際解いたわけではないので言うのもなんですが、
定義に照らし合わせてみましたか？

また、解けると仮定して極座標変換してみましたか？

補足

どちらも行ったつもりです。三重積分も考えてみました。