立体の体積と重心

質問

次のような問題です。２つの円柱面x^2+y^2=a^2,x^2+z^2=a^2で囲まれたx>=0,y>=0,z>=0の領域を考える。このとき次のものを求める。

（１）体積V
（２）重心（x,y,z）

　（１）については基本的な二重積分で、大学の講義でも習ったので解けたのですが、（２）のように不規則な形をした立体の重心を求める方法が分かりません。円錐、四角錐などは解けるのですが...。
　考え方などをどなたか教えてもらえないでしょうか？

回答No.1

rnakamra · ベストアンサー

体積は
∫∫∫dxdydz
で求められますね。

重心のx座標は
∫∫∫xdxdydz/∫∫∫dxdydz
で求められます。

y座標、z座標も同様。

密度が一様でない物体の重心は、密度をρ(x↑) (x↑は位置ベクトル)とすると
(重心の位置ベクトル)=∫∫∫x↑*ρ(x↑)dv/∫∫∫dv
となります。(dvは体積積分を表す。直交座標系ではdv=dxdydz)

補足

ええっと、つまりは、x領域、y領域、z領域を考えて、∫∫∫xdxdydzを求め、それを（１）で求めた体積で割るという手順でよろしいのでしょうか？

回答No.2

rnakamra

#1の補足に対してのご回答
>x領域、y領域、z領域を考えて、∫∫∫xdxdydzを求め、それを（１）で求めた体積で割るという手順でよろしいのでしょうか？

そうです。x,y,zの範囲は体積を求めるときに使用した範囲をそのまま使えばよいでしょう。

それと、#1の最後のやつ、式を間違えていました。
(重心の位置ベクトル)=∫∫∫x↑*ρ(x↑)dv/∫∫∫ρ(x↑)dv
がただしいです。今回の場合、ρ=1/V(全体が一様)の場合になります。

お礼

丁寧な説明に感謝します。おかげさまでまた一歩積分に詳しくなれました。