数学の体積問題です。

質問

数学の体積問題です。

各問い詳しく教えて下さい。

空間において、二点P(-t,-1,t^2-1) Q(t,1,(e^t+e^-t)/2－(e+e^-1)/2)

を考える。

ただし|t|≦1とする。
0＜u＜1であるuにたいして線分PQと平面y=uとの交点をR(x,y,z)とする。

(1)tを-1から1まで動かすとき、xの動く範囲をuで表せ。

(2)Rのz座標をx,uの式で表せ。

(3)tを-1から1まで動かすとき、線分PQが動いてできる図形と２平面y=1,z=0とで囲まれる部分の体積を求めよ。

以上です。

けっこう難問ですが、よろしくお願い致します

回答No.1

Kules · ベストアンサー

>けっこう難問ですが、よろしくお願い致します
個人的には「難問」というのはいくつかに分かれていて
1.パッと見難しそうだけど問題の流れに素直に従えばそれほど難しくない
2.オーソドックスな解法だと計算がものすごいことになるため一見解けないように見えるが、それでも解ける。ただし、もっと楽な解法がある。
3.とっかかりも何もなく、何をしたらいいのか見当がつかない。

で、今回の問題は1.or2.かなあ…と思います。計算はしんどそうですし、イメージもわきにくいですが、素直に解けば解けなくはないかな、と。
とまあそんな御託はおいといて。

>線分PQと平面y=uとの交点をR(x,y,z)とする。
これは、2次元(xy平面)で考えれば、
「線分PQと直線y=uとの交点をR(x,y)とする。」
と言ってるのと同じような話です。「」の問題であればおそらく
直線の式を求める→y=uの時のxの値を求める
といった流れになると思うので、今回も同じ方法を使います。
ただ、空間の場合直線の方程式をz=(x,yの式)とか(x,y,zの式)=0という形を
取るのは難しい(多分できない)ので、何らかの媒介変数を通してx,y,zを表現するのが楽でしょう。
直線の表現の仕方もいろいろあると思いますが、ここではベクトル方程式を使おうと思います(根拠はありません。私が最初に思いついた方法です)。
Rは線分PQ上ですから、0≦k≦1なる実数kとベクトルOP,OQを用いれば
OR=(1-k)OP+kOR　(OP,OQ,ORは全てベクトル)
と表せます。この式によりRの座標をk,t,で表わすことができます
(Oが原点であれば、ORベクトルの各成分と、Rの座標は一致します)
これと平面y=uの交点を考えればいいので、Rのy座標をk,tで表わし、=uという式を求めれば、kをu,tで表わすことができます。
このkをx座標に代入すると、x座標はu,tで表わすことができます。
最後に、-1≦t≦1の範囲でtを動かした時のxの範囲をuで表わせば(1)は終了です。

(2)(1)でずいぶん下準備に時間を掛けたので(2)はさほど難しくありません。
Rのz座標はすでにu,tで表わされていると思います(kは(1)で求めたものと同じですよね？)
で、xはu,tで表わされているので、そこからt=(u,xの式)という形にして代入すれば、
zをu,xの式で表わすことができます。

(3)これはどのくらい空間的なイメージができるかで理解のしやすさが変わってくるところだと思います。
まず、
立体の体積は、微小な柱体(要するに、「ものすごく薄っぺらい柱体」)の体積を足し合わせたものに等しい
という話があります(この辺ものすごくざっくり話してるので詳しい人からはつっこまれそうですが、気にせずいきます)
で、微小な柱体の体積というのは、立体をものすごく薄く切った時の、断面積×薄切りした時の厚みのことです。
この「ものすごく薄く(小さく)わけたものの体積(面積)を足し合わせる」という考え方は数IIIの教科書に載ってる
区分求積の考え方なので、求めたい立体の体積は∫(断面積を表す式(変数はu))du
で計算すればいいんだな、ということになります(説明がざっくりしすぎかも)
ここで(1)(2)を振り返ると、y=uでのx,zに関して求めさせられていることがわかります。
ということは、今回求めたい立体の、y=uでの断面積S(u)を求める下準備が(1)(2)でなされたのだな、ということがわかります。
また、設問(3)の中で、
>～、z=0で～
ということが書かれています。書かれているからには使うんだろうなってことで実際Rの動きとz=0を描いてみると、この２つでうまく図形が閉じて、面積が求められる状態になっていることがわかると思います。

さらに、(2)でzをxで表わしていたことを考えると、その式をそのまま使うために
y=uの時の断面積S(u)は
∫(x,uで表わされたzの式)dx
とすればよいことがわかります。このままだと積分区間がない→不定積分やん、となりますが、
(1)でxが動く範囲を求めているので、その範囲で積分してやればいいことになります。
これでS(u)が求まったので、後はuを0～1で動かした時の体積は
∫S(u)du
で求まると思います。(実際に手を動かして計算したわけではないので、本当に求まる保証はありません(笑))

長文失礼しました。参考になれば幸いです。

回答No.2

dottuperu

(1)ですが、平面uはyにしか依存しない点と、求めるのはxだけで良い点を考えると、
z座標を無視して、xy平面上で考えれば良いと思います。

つまり、P(-t,-1),Q(t,1)の線分は、
y=x/t と式にできるので、これと y=u との連立で、
x=tu と解けます。
よって -u≦x≦u が答えではないでしょうか。