重積分の問題です。

質問

以下の問題の回答をお願いします。

３次元空間上の領域K={(x, y, z)∈R^3|x^2+y^2=1, x>=0, y>=0, 0<=z<=√2}及び平面L={(x, y, z)∈R^3|x+y-z=0}について考える。ここで、Rは実数全体の集合を表す。
領域Kの中で平面Lとxy平面に挟まれた領域の体積Vを求めよ。

積分範囲がイメージしずらいので、うまく図示する方法などあれば教えて頂きたいです。。。

回答No.1

info33 · ベストアンサー

V= ∫∫[D] (x+y)dxdy, D={(x,y)|x>=0,y>=0, x^2+y^2<=1}
x=rcos(t), y=rsin(t), 0<=r<=1, 0<=t<=pi/2, dxdy=rdrdt
V= ∫[t:0,pi/2] dt ∫[r:0,1] r (cos(t)+sin(t)) rdr
= ∫[t:0,pi/2] (cos(t)+sin(t))dt ∫[r:0,1] r^2 dr
={[sin(t)-cos(t)][0,pi/2]}{[r^3/3][0,1]}
= 2/3 ... (Ans.)