２重積分の問題

質問

２重積分を利用して z=0, y=0,x=0 と平面 z=2-2x-y で囲まれた体積を求めよ
という問題なのですが答えがあわなくて困ってます
回答には答えしか書いてないのでできれば詳しく説明をお願いします。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

平面とX軸、Y軸、Z軸の交点はA(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,2)だから求める立体は三角錐CABO（Oは原点)ですね。底面が直角三角形△ABOでOA=1,OB=2,∠AOB=90°なので底面積S=1*2/2=1
で高さCO=2なので体積V=S*CO/3=1*2/3=2/3 を積分を使わなくても体積は求まります。

体積積分でやりたいなら
V=∫[0,1]{∫[0,2-2x] (∫[0,2-2x-y] dz)dy}dx
=∫[0,1]{∫[0,2-2x] (2-2x-y)dy}dx　←被積分関数はzの式ですね。
=∫[0,1]{[2y-2xy-(1/2)y^2](y=2-2x)}dx
=∫[0,1]{(1/2)(2-2x)^2}dx
=2∫[0,1]{(x-1)^2}dx
=(2/3){[(x-1)^3](x=1)-[(x-1)^3](x=0)}
=2/3
となります。

お礼

回答ありがとうございます！
どうやら回答見ると式はあってたようで計算がミスってたようです。
助かりました！