微分方程式の問題

質問

x^2y''-xy'+(3/4+x^2)y=0という問題で、ベキ級数を用いて解きたいのですが、解けません。どなたかご教授願います。

回答No.1

FT56F001 · ベストアンサー

> x^2y''-xy'+(3/4+x^2)y=0

y=Σa[n] x^nとおく。
y'=Σ a[n]*n*x^(n-1)
y''=Σa[n]*n*(n-1)*x^(n-2)
微分方程式に代入する。
Σa[n]*n*(n-1)*x^n - a[n]*n*x^n + (3/4+x^2)a[n]*x^n=0
Σa[n]*n*(n-1)*x^n - a[n]*n*x^n + (3/4)a[n*]x^n + a[n]*x^(n+2)=0
Σa[n]*n*(n-1)*x^n - a[n]*n*x^n + (3/4)a[n]*x^n + a[n-2]*x^n=0
x^nの係数=0より，漸化式
a[n]=-a_[n-2]/{n^2-2n+3/4}=-4*a[n-2]/{(2n-1)(2n-3)}
を得る。ここでa[0]=1と仮定する。
a[2]=-4/(3*1)
a[4]=-4/(7*5)*a[2]=16/(7*5*3*1)
a[6]=-4/(11*9)*a[4]=-64/(11*9*7*5*3*1)
一般項は
a[n]=(-4)^(n/2)/(2n-1)!! (n=0,2,4,6,・・・)あるいは
a[2n]=(-4)^(n)/(4n-1)!! (n=0,1,2,3,・・・)となる。

特殊解の一つは
y=Σ[n=0から無限大](-4)^n/(4n-1)!!*x^(2n)
の形になる。(x=0にてy=1,y'=0を満たす解)

Bessel関数で，次数ν=(√-1)(√3)/2にしたものに帰着できそうです。

補足

x=0は確定特異点なので、フロベニウス法を使うのではないのですか？