微分方程式

質問

微分方程式
以下の方程式の解がわかりません。色々調べてはみたのですが。
どうやら１階の微分方程式に帰着できるようです。

xy''+y'=4x
(1+x^2)y''+2xy'=2/x^3

大変お手数ですが、どなたかわかる方ご教授願います。
よろしくお願いします。

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

xy''+y'=4x (1)
p=xy'とおく
p'=xy''+y'
(1)は
p'=4x
p=2x^2+C=xy'
y'=2x+C/x
y=x^2+Clogx+D
(C,Dは積分定数)

(1+x^2)y''+2xy'=2/x^3 (2)
p=(1+x^2)y'とおく
p'=(1+x^2)y''+2xy'
(1)は
p'=2/x^3
p=-1/x^2+C
(1+x^2)y'=-1/x^2+C
y'=-1/(x^2(1+x^2))+C/(1+x^2)
-1/(x^2(1+x^2))=1/(1+x^2)-1/x^2
∴
y'=1/(1+x^2)-1/x^2++C/(1+x^2)
C+1=Dとおいて
y'=D/(1+x^2)-1/x^2
∫dx/(1+x^2)=arctanx+E（微分すればわかる）
y==Darctanx+1/x+E
(C,D,Eは積分定数）

お礼

わかりやすい解説ありがとうございます！！
助かりました！！