2階微分方程式の問題

質問

x^3y"-(y-xy')^2=0 解：y==xlog(x/1-Ax)+Bx
の解き方が全くわかりません。
解き方と全く関係ないかもしれませんが、
問題式を展開して、
x^3y"-(y^2-2xyy'+x^2(y')^2)=0...(1)

両辺に1/y^2をかけて
x^3y"/y^2-(1-2xy'/y+x^2(y'/y)^2)....(2)
としてみました...
どなたかアドバイスお願いします。

回答No.1

age_momo · ベストアンサー

(y-xy')^2を展開してはダメでしょうね。これはおそらくヒントです。

y-xy'をx^2で割ってみることを考えるとy/x^2-y'/x=-(y/x)'ですから
全体をx^4で割って

y''/x - {(y/x)'}^2 = 0

何とかなりそうです。y/x=tと置くと

y=xt
y'=xt'+t
y''=xt''+2t'

与式に代入して

x^4t''+2x^3t'-x^4t'^2 = 0

t''+2t'/x-t'^2=0

t''/t'+2/x-t'=0
log(t')-t=A-2log(x)
e^(-t) t'=A'/x^2
-e^(-t)=-A'/x+B
-t=log((A'-Bx)/x)
y=-xlog((A'-Bx)/x)
=xlog(x/(A'-Bx))

普通はここで変形を終わるんですが、更に続けて

=x(log(x/(1-B'x))-A'')
=xlog(x/(1-B'x)-A'''x
=xlog(x/(1-B'x)+A''''x

で解答と同じになります。

お礼

丁寧な回答ありがとうございます。
理解することかできました。