微分方程式の級数解
次の微分方程式の解を 式(5.1) = y(x) = Σ[i=0,∞] ( a[i] * x^i ) のべき級数を用いて求めよ。
x^2 * (dy/dx) - y = x^2
解答
べき級数展開から次の式を得る。
x^2 * Σ[i=0,∞] (i+1)( a[i+1] * x^i ) - Σ[i=0,∞] ( a[i] * x^i ) = x^2
xの次数ごとに両辺の係数を比較すると、
a[0] = 0
a[1] = 0
a[2] = -1
a[n] = (n-1) a[n-1] (n>=3)
なる関係式を得る。これより、n>=3について
a[n] = (n-1) ! * a[2] = -(n-1) !
となる。したがって、微分方程式の級数解として
y = -x^2 * Σ[i=0,∞] (i+1) ! * x^i ←この式の求め方が分かりません
を得る。
・・・と本に書いてありますが、
y = -x^2 * Σ[i=0,∞] (i+1) ! * x^i
の求め方が分かりません。
a[n] = -(n-1) !まで分かっているので、後は代入するだけだと思っていたのですが、やってみると答えが合いません。例えば、
x^2 * Σ[i=0,∞] (i+1)( a[i+1] * x^i ) - Σ[i=0,∞] ( a[i] * x^i ) = x^2
に
a[n] = -(n-1) !
a[i] = -(i-1) !
a[i-1] = -(i-2) !
a[i+1] = -i !
など各種取り揃えておいて代入すると
x^2 * Σ[i=0,∞] (i+1)( a[i+1] * x^i ) - Σ[i=0,∞] ( a[i] * x^i ) = x^2
x^2 * Σ[i=0,∞] (i+1)( -i ! * x^i ) - Σ[i=0,∞] { -(i-1) ! * x^i } = x^2
(i+1)i ! = (i+1) ! と考えれば
x^2 * Σ[i=0,∞] -(i+1) ! * x^i + Σ[i=0,∞] (i-1) ! * x^i = x^2
-x^2 * Σ[i=0,∞] (i+1) ! * x^i + Σ[i=0,∞] (i-1) ! * x^i = x^2
この前半の項が奇しくもこの本の答え
y = -x^2 * Σ[i=0,∞] (i+1) ! * x^i
と同じになります。
ということは、この後半の項はゼロになるべきということですか？でも、ならないですよね？
それとも私の計算が間違っているのでしょうか？
どうか正しい解き方を教えてください。お願いします。
