微分方程式の問題

質問

y'-2xy-3(x^2)(e^(x^2))=0

(1)上式が線形であることを示せ。
(2)上式の一般解を求めよ

という問題があります。

解き方がまったく分かりません。
分かる方がいらっしゃいましたら、ご教授お願いいたします！

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

(1)
「線形であることを示せ」は、オカシナ問題。
非斉次線形微分方程式は、アフィンであって、線形ではないから。
問題の式が線形微分方程式であることなら、示すことができる。
示すといっても、線形微分方程式の定義が
「関数 a0, a1, a2, … an, b が与えられたとき
Σ[k=0…n] ak(x) (d/dx)^k y = b(x) を n 階線形常微分方程式という」
というものだから、見たまんま自明というだけの話。

(2)
定係数でなければ、線形微分方程式に一般的な解法がある訳ではないが、
一階線形常微分方程式の一般解はよく知られている。
dy/dx = p(x) y + q(x) の解は、
y = ∫{ q(x) e^(-∫p(x)dx) }dx e^(∫p(x)dx).
これを導くには、dy/dx - p(x) y = q(x) の左辺が積の微分公式になるように
両辺に e^(-∫p(x)dx) を掛けてから、積分すればいい。
今回の問題は p(x) = 2x, q(x) = 3(x^2)e^(x^2) だから、
y = ∫{ 3(x^2)e^(x^2) e^(-∫2xdx) }dx e^(∫2xdx)
　　= ∫{ 3(x^2)e^(x^2) e^(-x^2-C) }dx e^(x^2+C)
　　= ∫{ 3(x^2) }dx e^(-C) e^(x^2+C)
　　= { x^3 + D } e^(x^2).
(C, D は積分定数)

お礼

こういう公式があったとは知りませんでした。
微分方程式というものを系統的に学んだことがないので、やはり基礎が足りてないですね。
補助方程式とかラプラス変換による解法とかはできますが、
この公式が分かれば線形微分方程式が全部解けちゃいますね。
ありがとうございました！