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熱力学:バネのヘルムホルツエネルギー

バネの伸びx、張力X、とした時、X=kxが成り立つ。kは温度Tに依存する。 この時のバネのヘルムホルツエネルギーF、内部エネルギーU、エントロピーS、をxの関数として求める時、X=(∂F/∂x)T (Tは括弧の右下)までは求まったのですが、それ以降が進みません。。。多分、順序的にはこれからF→S→Uと求めていくのでしょうが、どう進めばいいかわかりません。どなたか教えて頂けないでしょうか?

みんなの回答

  • Meowth
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回答No.2

訂正 変形が断熱変化(可逆変化の場合) kx=(∂U/∂x)Sから U=U0+1/2kx^2 ではxの変化にともなって温度がかわり kの値も変化するので 簡単に積分できませんでした。 (断熱線にそってk 一定として いるので間違え)

  • Meowth
  • ベストアンサー率35% (130/362)
回答No.1

dx伸ばすに必要な仕事 dW=Xdx(=kxdx ) TdS=dU-dW dU=dW+TdS=TdS+Xdx X=(∂U/∂x)S [→kx=(∂U/∂x)S] 変形が断熱変化(可逆変化の場合) kx=(∂U/∂x)Sから U=U0+1/2kx^2 ヘルムホルツの自由エネルギーは F=U-TS dF=dU-TdS-SdT=-SdT+dW =-SdT+Xdx[=-SdT+kxdx] X=(∂F/∂x)T[→ kx=(∂F/∂x)T] S=-(∂F/∂T)x Maxwellの関係式は (∂S/∂x)T=-(∂X/∂T)x [→(∂S/∂x)T=-x(∂k/∂T)x] kの温度依存性を β=-(∂k/∂T)x とすれば、 (∂S/∂x)T=βx 等温変化の場合、 F=F0+1/2kx^2 S=S0+1/2βx^2 ちなみに Gibbsの自由エネルギーは G=F-Xx dG=-SdT-xdX x=-(∂G/∂X)T S=-(∂G/∂T)x Maxwellの関係式は (∂S/∂X)T=(∂x/∂T)X 線膨張率 γ=1/x・(∂x/∂T)X とすれば、 等温変化では、 dX=kdx (∂S/∂x)T=-βx (∂S/∂X)T=γx 1/k・(∂S/∂x)T=γx (∂S/∂x)T= kγx S=S0+1/2・kγx^2 β=kγの関係がある。

040250
質問者

お礼

なるほどですね!! 全微分を積分するんですか…思いつきませんでした!! とっても詳しい説明ありがとうございました!! ギブスの自由エネルギーの導き方まで、教えて頂きありがとうございます!!