熱力学の問題(大学1年レベル)

質問

熱力学の勉強をしていてわからない問題があります。
友達と相談して解いても合っている自信がありません。
ぜひ教えてください。ウガンダハイフンなどは理解しています。

問 温度に依存して変化するばね定数kを有するばねがあり、これを準静的に伸ばす。ばねの伸びをxとすると、ヘルムホルツの自由エネルギーの変化は以下のように与えられる。

dF=-SdT+kxdx

(1)温度Tを固定した時のFとxの関係に着目し、Fをばねていすうk、伸びxを用いて表せ
(2)エントロピーSを求めよ
(3)内部エネルギーUを求めよ

回答No.1

masics · ベストアンサー

(1)
全微分の知識を用いれば
(∂F/∂x)_T=kx
なので両辺積分して
F=1/2 kx^2+C(T)
となります．ここでC(T)は積分定数です．
表記を変えると
F(T,x)=1/2 kx^2+F(T,0)

(2)
エントロピーも全微分の知識より
S=-(∂F/∂T)_x
　=-1/2 x^2 dk/dT -dC/dT
となります．
表記を変えると
S(T.x)=S(T,0)-1/2 dk/dT x^2
です．

(3)
U=F+TSより
U(T,x)=U(T,0)+1/2 (k-dk/dT)x^2

となります．

(微分)_x
という記号は
「ｘを固定して微分せよ」
という意味です．

ばね定数の温度依存性については統計力学を勉強すると定量的にわかることになります．

お礼

回答ありがとうございます。
助かりました！