相加相乗平均について

質問

今学校で相加相乗について習っているのですが
３文字の相加相乗で　x+y+z≧3(xyz)^(1/3)となるのは解るのですが
x+y+zをまず x+yで相加相乗を使い、2(xy)^(1/2)とし、
さらに2(xy)^(1/2)とzでもう一回相加相乗をつかって
2( 2(xy)^(1/2)*z )^(1/2) とするのは間違いなのでしょうか？

x+y+z≧3(xyz)^(1/3)では等号はx=y=z
x+y+z≧2( 2(xy)^(1/2)*z )^(1/2)では等号はx=y=2zとなってしまいます。

授業では４文字の相加相乗平均a+b+c+dをa+b c+dと分け
２文字の相加相乗を三回使い証明していましたが三文字の場合では違うのでしょうか

自分でいろいろ考えたのですが、よく解りません。
どなたかわかる方宜しくお願いします。

回答No.2

rabbit_cat · ベストアンサー

＞x+y+z≧2( 2(xy)^(1/2)*z )^(1/2)では等号はx=y=2zとなってしまいます。
等号成立条件は、x=y=z/2 の間違いだと思いますが、まあそれはそういうことだとして。

＞さらに2(xy)^(1/2)とzでもう一回相加相乗をつかって
＞2( 2(xy)^(1/2)*z )^(1/2) とするのは間違いなのでしょうか？[
計算自体は合っていますし実際正しい式なんで「間違い」かと言われると、間違いではないんです。

たまたま、
x+y+z≧3(xyz)^(1/3)では等号はx=y=z
という不等式には、「相加相乗平均の関係」という名前がついていますが、
x+y+z≧2( 2(xy)^(1/2)*z )^(1/2) で等号はx=y=z/2
という不等式には、名前がついてない、
てことです。

なんで、もし、問題で「相加相乗平均の式」を証明しろっていわれてるのに、全く関係ない
x+y+z≧2( 2(xy)^(1/2)*z )^(1/2)
ていう式を証明したら、問題の答えとしては不正解ですが、
不等式自体は正しい式なんで、これを使って、別のなにか違うことを証明する、とかであれば当然正しいです。

お礼

なるほど。スッキリしました。ありがとうございます。

回答No.1

abyss-sym

x+y+z≧3(xyz)^(1/3)
x=X^3 , y=Y^3 , z=Z^3 とします。
すると、X^3+Y^3+Z^3≧3XYZ
これを、証明することを考えます。
X^3+Y^3+Z^3-3XYZ
=(X+Y+Z)(X^2+Y^2+Z^2-XY-YZ-ZX)
=(X+Y+Z)(1/2){(X-Y)^2+(Y-Z)^2+(Z-X)^2)}≧0
よって、X^3+Y^3+Z^3≧3XYZ は成り立つ。
したがって、x+y+z≧3(xyz)^(1/3)