不等式の証明

質問

(1)
|a|≧aの証明がよくわかりません。
(i)a≧0のとき、|a|=a
(ii)a<0のとき|a|は正、aは負だから|a|>aより

(i)(ii)から｜a|≧a
といえるそうですが把握できません。
もしよかったら、例えでいいので教えてくれませんか？

（２）
相加・相乗平均の式a,bが共に正のとき

a＋b=2√ab
で、例題で
x>0のときx＋9/xの最小値を求めるとき

x>0よりなぜ9/x>0といえるのかわかりません。

公式を用いると
x＋9/x≧2√x*9/3ですが
なぜ、左側ではなく右だけ計算をするのですか？
計算をすると6ですが。

回答No.4

Quattro99

(2)
a、bが共に正のとき、a+b≧2√abが成り立つんですよね。

xが正のとき、9/xも正なので（これはNo.1の方の回答でいいですよね）、上の公式を適用することが出来て（a=x、b=9/x）、
x+9/x≧2√x*9/x となり、右側はxが約分されて消えるので計算すると、
x+9/x≧6 となります。
なぜ、右側だけかというのは、左側は求めるものそのものだからです。x+9/xの最小値を知りたいのですから、それはx+9/x≧αのαを知りたいということです。

回答No.3

taak

aをｘに置き換えて説明します。
すなわち、|ｘ|≧ｘ　を説明します。
さて、把握するだけだったら、グラフを使うのがよいかと思います。
ｙ＝|ｘ|　と
ｙ＝ｘ　のグラフを書いてみてください。

X>０の部分でグラフはかさなりますが、
ｘ＜０の部分では、ｙ＝|ｘ|のグラフが上にきますよね。
こういう把握の仕方もあります。

回答No.2

Quattro99

(1)はもしかして、≧の意味をつかみかねているのではないですか？

|a|≧aというのは、|a|=aまたは|a|>aのどちらかが成立すればよいということですから、

(i)は|a|=aですから、|a|≧aも成り立ちます。
(ii)は|a|>aですから、|a|≧aも成り立ちます。
従って、(i)でも(ii)でも|a|≧aが成り立ちます。(i)と(ii)で全ての数を含みますから、全ての数で|a|≧aが成り立ちます。

補足

x＋9/x≧2√x*9/3ですが
なぜ、左側ではなく右だけ計算をするのですか？

回答No.1

naomi2002

(1)
これは直感的に説明した方がわかりやすいですね。
aに何でもいいから、いろんな数値を代入してみてください。
例えば、a = 1とか、a = -2とか。
aが正の数または0だったら、|a|はa自身に等しい。
aが負の数だったら、|a|（←これは必ず0以上）はaより小さくなることはない。

「数直線」を考えるのが、わかりやすいかもしれません。

仮にa = 3だとしますね。
この場合、数直線上で、ゼロから右（＋方向）に3だけ離れたところにaの点があります。
そして、この場合、|a|の点と一致します。
aが負の値、例えばa = -3の場合には、
|a|の点はゼロから右に3、そしてaはゼロから左に3の距離にあります。

いずれにしても、|a|はaより小さくはならない。

こんな説明でわかってもらえますか？
（わかってしまえば、当たり前のことなんですが。。。）

(2)
＞x>0よりなぜ9/x>0といえるのかわかりません。

xは正の数、9も正の数ですね。
9/xは9÷xだから、正の数になります。
（正の数同士、または負の数同士で掛け算・割り算した結果は正の数。）

補足

x＋9/x≧2√x*9/3ですが
なぜ、左側ではなく右だけ計算をするのですか？