極限の問題です。

質問

1からnまでの整数のなかで、領域bm≦x≦bm+a(a<b)（m=1,2,3,...）(bは無理数？)の内部にある整数の数をc_nとした時に、lim(n→∞)c_n/n=a/bとなるのは何となく正しそうですがどう示せばいいのでしょうか？

回答No.5

ringohatimitu · ベストアンサー

高校の範囲では難しいのではないでしょうか。それぞれの区間に含まれる整数の個数はランダムに変化するので漸近的に評価するしかないように思えます。そしてその場合一様分布の結果を使うことになってしまうので高校の範囲を超えてしまいますね。

回答No.4

ringohatimitu

和集合の意味だったのですか、No1さんのように誤解しました。
それはさておき、そうであればbが無理数のときその予想は成り立ちますね。
以下Nを自然数、Rを実数、Qを有理数の集合とします。
次の有名な定理を使うことにします：
bが無理数のとき、{kb}_{k∈N}は(mod 1)で一様に分布する」

まず、各区間[kb,kb+a]に整数が何個あるかはaが整数点を超えるかどうかで[a]か[a]+1のどちらかになることに注意します。そしてa<bなのでそれらの区間は互いに素ですからそれぞれの区間での個数を足せばよいです。
次に、kb+aが整数点を超えるかどうかはkbが(mod 1)で[0,1-(a-[a])]か[1-(a-[a]),1]のどちらに入るかに同値であることに注意します。
これらを踏まえて、

(c_n)/n = (1/n)Σ_{k≦[n/b] : kb (mod 1) ∈[0,1-(a-[a])]} [a] +
(1/n)Σ_{k≦[n/b] : kb (mod 1) ∈ [1-(a-[a]),1]} ([a]+1)

→(1/b){(1-t)[a]+t([a]+1)}=(1/b){[a]+t}=a/b

ここでt=a-[a]とおいてます。

単純にカウントするだけでも求められるかもしれませんがとりあえず一様分布性を使いました。
しかし根本的なところはWeyl's Criterionを使うことになるような気がします。

補足

丁寧な説明有難うございます。ただ、自分としては所謂高校数学の範囲のみを使った回答が欲しいです。やはりそれは不可能なのでしょうか。

回答No.3

alice_44

なるほど。「領域 bm≦x≦bm+a (a<b)(m=1,2,3,…)」というのは、
区間の和 [b,b+a]∩[2b,2b+a]∩[3b,3b+a]∩… という意味でしたか。
それは、読み取れなかったなあ。

だとすれば、n < bm となる m は無視しても構わないから、
n が大きいとき n ≒ bm という「n と m の関係」が見つかった
ことになりますね。

回答No.2

nag0720

回答ではありませんが・・・

＞bは無理数？

bが有理数なら成立しませんから、「bは無理数」という条件が必要です。
解答も無理数であることを利用しなければならないでしょう。

＃１さんは勘違いしているようですが、mは変動するのではなく、
「1からnまでの整数のなかで、区間[b, b+a]、[2b, 2b+a]、[3b, 3b+a]、・・・・の内部にある整数の数の合計をc_nとする」
という意味ですね。

回答No.1

alice_44

出典に戻って、問題を確認してください。
n と m の関係は？

m を固定して n→∞ としたり、
m→∞ とした後で n→∞ としたりすると、
lim(n→∞)c_n/n = 0 にしかなりませんが。