極限の問題

質問

極限の問題

0<xに対し、n(x)=[1/x]と定義する。ただし、[a]はGauss記号(aを超えない最大の整数)とする。

１、lim(x→+0) n(x) を求めよ。

２、lim(x→+0) xn(x) を求めよ。

３、lim(x→+0) (x^2)(1+2+…+n(x)) を求めよ

とりあえず、グラフを描いてみました。
問題１は普通に考えて、∞ですよね。
問題２からが分かりません。
０×∞の不定形になってしまうので、変形を施したいのですが、ガウス記号をどう処理していいのかが分かりません。
同様に問題３もお願いします。

回答No.3

aquatarku5 · ベストアンサー

NO1,2の回答の者です。

No2へのお礼の中でのご質問ですが,ご賢察のとおりです。

お礼

分かりました、ありがとうございます。

回答No.2

aquatarku5

No1の者です。

＞＞自然数mに対し，1/(m+1)<x<=1/m　
＞これは、どこから出てきたのでしょうか？

n(x)=[1/x]なので、ガウス記号の定義に従い、
m<=1/x<(m+1)となるxについて、n(x)=mとなる
よう、mを設けたものです。

どんな1/xに対しても、mを適当に調整すれば、
いずれかの「m～(m+1)」に収まることになります。

うまく伝わったでしょうか？

本問、無事「解決済」となればよいのですが・・・

お礼

引き続きありがとうございます。
m<=1/x<(m+1)　を　すべて逆数にして、1/(m+1)<x<=1/m　ということでよろしいのでしょうか？

回答No.1

aquatarku5

１、は∞でよいかと思います。

２、
　自然数mに対し，1/(m+1)<x<=1/m　のとき、n(x)=m
　∴　m/(m+1)<xn(x)<=1
　x→+0即ちm→+∞のとき、m/(m+1)→1なので、与式=1

３、
　２、同様に、1/(m+1)<x<=1/m　のとき、
　n(x)=m
　∴　1+2+…+n(x)=m(m+1)/2
　∴　m/(2(m+1))<(x^2)(1+2+…+n(x))<(m+1)/(2m)
　よって、x→+0即ちm→+∞のとき、与式=1/2

お礼

ありがとうございます。

＞自然数mに対し，1/(m+1)<x<=1/m　
これは、どこから出てきたのでしょうか？