不等式の帰納法＆極限 ？？ の問題

質問

関数f(x)＝4x-x^2に対し数列｛a_n｝を
a_1＝c、a_n+1=√f(a_n)（n=1,2,3・・・）
で与える。ただしｃは0<c<2を満たす定数である
(1)a_n＜２、a_n＜a_n+1（n=1,2,3・・・）
(2)2-a_n+1＜｛（2-c)/２｝（2-a_n）（n=1,2,3・・・）を示せ。
(3)lim（ｎ→∞）a_nを求めよ

この問題に取り組んでいます
(1)ができなくて困っています。
帰納法を使うのではないかと思い、n=1のときに成り立ち、ｎ＝ｋのときにa_k＜２が成り立つと仮定したとことまではいいのですが、n=k+1のときにa_n+1=√f(a_n)の式と仮定をなんとか使って示したいのですがa_k+1＜２√２としか変形できませんでした。何が悪いのでしょうか？それとも帰納法ではないのでしょうか？
a_n＜a_n+1も同じようなところで変形ができなくて困っています。
回答いただければ幸いです。よろしくお願いします

回答No.1

R_Earl · ベストアンサー

> n=1のときに成り立ち、ｎ＝ｋのときにa_k＜２が成り立つと仮定したとことまではいいのですが、n=k+1のときにa_n+1=√f(a_n)

数学的帰納法で解けます。
(1)については半分、二次関数の最大・最小問題と似ています。
まず、n = kの時に0 ≦ a_k < 2と仮定します。

『0 ≦』をつけた理由ですが、
(1) 漸化式がa_n+1=√f(a_n)です。0 ≦ √aより、a_nも0以上。
(2) この証明、最後の最後でこの『0 ≦』が無いと解けないんです。

さてa_k+1が2より小さいかを確かめます。
その前に、f(x)＝4x-x^2を平方完成します。すると
f(x) = 4 - (x - 2)^2です。x = a_kの時のf(x)は
f(a_k) = 4 - (a_k - 2)^2
∴a_k+1 = √f(a_k) = √{ 4 - (a_k - 2)^2 }
さて、a_kが0 ≦ a_k < 2なら、{ 4 - (a_k - 2)^2 }がとりうる
値の範囲はいくらでしょうか？
a_k = xとおきなおし、y = { 4 - (x - 2)^2 }のグラフ
（つまりはy = f(x)のグラフ）を描いてみましょう。
それが分かればa_k+1 = √{ 4 - (a_k - 2)^2 }がとりうる値の範囲も分かります。
（実はここで『0 ≦』が無いと、必要ないa_k < 0の範囲を含んでしまい、
a_k+1のとりうる値の範囲が限定できずに解けなくなります。）
これは先ほども言ったように、『半分』二次関数の最大・最小問題に似てませんか？

次にa_n＜a_n+1ですが、これも数学的帰納法です。
ですがこれはa_n < 2が証明できないと解けません。

n = kの時、0 ≦ a_k < a_k+1 < 2と仮定します。
今回も余計な『0 ≦』と、新たに『< 2』を付け加えます。
まず、a_n+1=√f(a_n)の式のnにn = kと、n = k + 1を代入し、

a_k+1 = √{ 4 - (a_k - 2)^2 }
a_k+2 = √{ 4 - (a_k+1 - 2)^2 }

という二つの式を作ります。
ここで0 ≦ x < 2の範囲でのy = f(x) = { 4 - (x - 2)^2 }の
グラフを考えてみて下さい。
この範囲内では、xの値が大きいほうが、yの値も大きくなります。
というのも、二次関数y = { 4 - (x - 2)^2 }はx=2で最大値をとるからです。
（式の形で書くと、『0 ≦ a < b < 2ならば、常にf(a) < f(b)』です。）
これを踏まえて再び先ほどの

a_k+1 = √{ 4 - (a_k - 2)^2 }
a_k+2 = √{ 4 - (a_k+1 - 2)^2 }

に注目します。
0 ≦ a_k < a_k+1 < 2と仮定していますので、

f(a_k) < f(a_k+1)
すなわち
{ 4 - (a_k - 2)^2 } < { 4 - (a_k+1 - 2)^2 }

の関係が成り立ちますよね？
よってa_k+1 < a_k+2が成り立ちます。

この問題の製作者がわざわざ数列の漸化式にf(x)を使用した意図は、
もしかしたらこういうふうに、y = f(x)のグラフを利用してもらいたいからかもしれません。

お礼

回答ありがとうございます。
とてもわかりやすく丁寧に書いていただきすぐに理解できました

回答No.2

endlessriver

以下は概略ですが正確には各部に帰納法の手順を入れて結論を出します。
a_n≧0は明らか。
(1)a_n+1＜２を示すための考え方として、(a_n+1)-2を考えるのですが漸化式のルートを考慮して、(a_n+1)+2（これは正である）を掛けた(a_n+1)^2-2^2 を計算します。これは簡単に正負が判定できる式になりますから、帰納法で(a_n+1)-2<0が結論されます。

a_n＜a_n+1もa_n-a_n+1を計算すれば良いです。このとき
√a-√b=(a-b)/(√a+√b)....(A)
を使います。

(2)簡単のためbn=2-anとおけば
bn>0,bn>b_n+1
b_n+1=2-√(4-bn^2)となり、.....(B)
b_n+1<{(2-c)/2}bnを示せば良い。
これは漸化式(B)に(A)の公式を使えば良いです。このとき
bn<b_(n-1)<...<b1=2-cに注意します。

お礼

回答ありがとうございます
わかりやすい手順と注意すべきところを書いていただき助かりました