極限の問題が分かりません

質問

「nを自然数，0<x<1が成立しているとする．lim[n→∞](nx^n)=0を示せ．」
という問題が分かりません
もしnが実数ならx^n=(1/(1/x^n))としてロピタルの定理を用いれば示せるのですが，nが整数に限られてしまうとどのように示せばよいか分かりません．

nを実数としてnや(x^n)を微分できるとして，整数は実数に含まれるから，題が示されたとしても良いのでしょうか？ご回等よろしくお願いします

回答No.2

rnakamra · ベストアンサー

#1のものです。
1行間違えていました。
x^n=(1+r)^n>1+nr+n(n-1)r^2/2
ではなく
1/x^n=(1+r)^n>1+nr+n(n-1)r^2/2
です。
この不等式の逆数をとってnをかけると最後の不等式が得られます。

お礼

ありがとうございます
整数だけで証明できる方法が分かり、すっきりしました
今後ともよろしくお願いします

回答No.3

alice_44

A No.1 の証明が、絶賛推奨です。
初等的な内容は、初等的に示すのが、上品だからです。
でも、ロピタルも、使えないではありません。

実変数 n について lim[n→∞]f(n) が収束するならば、
n を自然数に制限した数列 f(n) の極限 lim[n→∞]f(n) も
同じ値に収束します。

そのことを証明するためには、収束するとはどういうことか、
そこの定義を厳密にせねばならず、
高校流の「どんどん近づく」では、ちょっと困難なのだけれど。

一応書いておくと、
実数 n での収束は、∀ε>0,∃t∈R, n>t⇒f(n)<ε　…[1],
自然数 n での収束は、∀ε>0,∃m∈N, n>m⇒f(n)<ε　…[2]
で定義される。[1] が成立していれば、
実数 t について、m > t となる自然数 m が存在する　…[3]
ことから、この m によって [2] が成り立つ。
[3] は、実数の定義の一部で、
「アルキメデスの公理」と呼ばれています。

お礼

ありがとうございます
ロピタルの定理も断りを入れれば一応使えるのですね
今後ともよろしくお願いします

回答No.1

rnakamra

x=1/(1+r)
とおくと　0<rであることが示せます。

n>2において
x^n=(1+r)^n>1+nr+n(n-1)r^2/2
が成り立ちます。(左辺は2項定理で展開した前から3項を取っています)

つまりn>2において
nx^n<n/{1+nr+n(n-1)r^2/2}
となります。あとははさみうちをしてしまえばよい。