漸化式と極限だと思います。

質問

(1)√２は無理数であることを用いて、

　 k＋l√２＝k´＋l´√２(k，l，k´，l´は整数)

であれば、k＝k´,l＝l´であることを示せ。

(２)自然数nに対して、(１＋√２)^n＝a[n]＋b[n]√２ (a[n]，b[n]は整数)

と表せる。このとき、a[n+1]，b[n+1]をa[n]，b[n]で表せ。

(３)(２)のa[n]，b[n]に対し、(１－√２)^n＝a[n]－b[n]√２であることを、

nに関する数学的帰納法によって示せ。

(４)lim(n→∞) b[n]／a[n]を求めよ。

津田塾大学の2010年度の過去問です。
解き方を教えてください。
お願します。

回答No.2

ferien

（１）だけです。

(1)√２は無理数であることを用いて、

　 k＋l√２＝k´＋l´√２(k，l，k´，l´は整数)

であれば、k＝k´,l＝l´であることを示せ。

k＋l√２＝k´＋l´√２　より式変形して

（ｋ－ｋ’）＋（ｌ－ｌ’）´√２＝０　……（１）

もしもｌ－ｌ’＝０でない　とすると

´√２＝（ｋ’－ｋ）／（ｌ－ｌ’）　と表せ、k，l，k´，l´は整数だから、

この式の右辺は有理数である。これは、√２が有理数であることを表していることになり矛盾する。

よって、ｌ－ｌ’＝０　だから　ｌ＝ｌ’　また（１）よりｋ－ｋ’＝０、よって　ｋ＝ｋ’

お礼

ありがとうございます。
できた自信なかったので
この解答ですっきりできました。

回答No.1

KSnake

（１）
無理数とは整数m,nを使って、m/nと表すことができない数でした。
aが有理数でbが無理数の時,a+b,abは無理数でしょうか、有理数でしょうか。
これを踏まえたうえで、

k＋l√２＝k´＋l´√２
k-k' + (l-l')√2=0
としたとき、l≠l'だと左辺が無理数になることを言えばいい。

（２）
(１＋√２)^n＝a[n]＋b[n]√２　より、

(１＋√２)^（n+1)＝a[n+1]＋b[n+1]√２
ここで左辺は、
(1+√2)(a[n]＋b[n]√２)
となり、これを展開して（１）を適応すればいい。

（３）やさしい。

（４）　（３）と(１＋√２)^n＝a[n]＋b[n]√２より、
a[n]、b[n]の具体的な形が出る。すなわち、

a[n]=((１＋√２)^n + (１-√２)^n)/2
b[n]=((１＋√２)^n - (１-√２)^n)/2

ここで、lim(n→∞) {(１-√２)^n} はいくつになるか。

お礼

ありがとうございます。
なんとかできそうです。