上極限、下極限について

質問

「{a_n}が有界の時、{a_n}が収束する⇔liminfa_n=limsupa_n、が成り立ち、この時、{a_n}の極限はliminfa_n、limsupa_nに一致する。」―（＊）の証明はできたのですが（たぶん）、
「lima_n=∞⇔liminfa_n=limsupa_n＝∞、lima_n=－∞⇔liminfa_n=limsupa_n＝－∞」の証明ができません。

ちなみに（＊）の証明が以下です。
（証明）
・liminfa_n=limsupa_nと仮定する。
　∀ε＞０をとると、a-ε＜a_n＜a+ε
　よって、{a_n}はaに収束する。
・{a_n}がaに収束すると仮定すると、
　m_0(ε)∈（自然数）が定まって、n＞m_0(ε)の時、a-ε＜a_n＜a+εとなる。
　α_m=infa_{m+n},β=supa_{m+n}とおくと、
　m＞m_0(ε)の時、a-ε≦α_m≦β_m≦a+ε
　よって、n_0(ε)=m_0(ε/2)とおくと、
　n＞n_0(ε)の時、|α_m-a|＜ε、|β_m-a|＜ε
　ゆえに、limα_m=limβ_m=a
　すなわち、liminfa_n=limsupa_n=lima_n

…が証明なのですが、後半部分はどのように示せばよいかわからないので、回答よろしくお願いします。

回答No.1

settheory · ベストアンサー

最初の証明がラフすぎると思うので、もう少し丁寧に書いた方が良いかと・・・

後半の問題の方に少しヒントを。
lim a_n =∞　とします。このとき、lim inf a_n =∞　を示します。
0<r　（実数）を任意にとります。仮定より、あるNが存在して　ｎがN以上　⇒　r+1<a_n 　となる。N’をN以上とします。このとき　inf_{m>=N'} a_n >=r+1 >r となります。これでほぼ題意成立です。どの正の実数に対しても、ある番号から先はそれより真に大きいということがinf a_n という数列に対して言えたからです。

lim a_n =∞　の時、任意のｎについて　sup_{m>=n} a_n =∞　になることが容易にわかると思います。｛a_n｝が上に有界だったら、∞に収束するはずがないからです。

似たようなことをやれば反対側やマイナスのときもできるかと。

お礼

回答ありがとうございました。