た大至急お願いします！解析学の問題です。

質問

∫[０→π］sin^4θcos^4θdx をガンマ関数・ベータ関数を用いて求めよ。
という問題なのですがどうしたらいいのかわかりません。

途中計算などを含め、求めてもらえませんか？
よろしくお願いします！

回答No.1

rnakamra · ベストアンサー

ヒント
∫[0→π](sinθ)^4*(cosθ)^4dθ=2∫[0→π/2](sinθ)^4*(cosθ)^4dθ となります。
((sinθ)^4*(cosθ)^4が周期π/2の関数であることからわかります)

t=(sinθ)^2と置換してみる。
与えられた式をtでの積分の式に変形するとそのままベータ関数の形が現れます。

ベータ関数であらわす式が得られれば、ベータ関数をガンマ関数であらわすことができるため簡単にガンマ関数を用いた式が得られます。

不明な点があれば御自分で計算したところまで補足に書いてください。