計算問題

質問

数学の計算問題です

前回も同様の質問をさせていただきましたが、ルール違反をしていたようです。申し訳ありませんでした。

∫[-1/2→1](-2x)(1-x^2)^(1/2)dxを計算したいのですが、うまくいきません。

解答では[2/3(1-x^2)^(3/2)]から1,-1/2を代入して計算していっています。

確かにそのようになることは納得できるのですが、1-x^2=1^2-x^2であるからx=sinθとおいて、この問題を解いていきたいと思います。
dx/dθ=cosθ,dx=cosθdθ また積分区間はx(-1/2→1)よりsinθ(-1/2→1),よってθ(-6/π→2/π)となりますよね。

よって∫[-6/π→2/π](-2sinθ)(cos^2θ)^(1/2)cosθdθ=∫[-6/π→2/π](-2sinθ)cos^2θdθ
=∫[-6/π→2/π](-sin2θcosθ)dθとなりました。

ここで計算をしていってもなぜか答えが一致しません。
ちなみに答えは-√3/4です。

どこが間違えているのかわかりません。わかる方がいらっしゃいましたら教えていただけると助かります。
よろしくお願い致します。
また、これらとは別によい方法があれば教えていただけると嬉しいです。

回答No.1

owata-www · ベストアンサー

∫[-π/6→π/2](-2sinθ)cos^2θdθ
＝∫[-π/6→π/2]2cos^2θ(cosθ)'dθ
＝2/3*[cos^3θ][-π/6→π/2]
＝0-2/3*cos^3(-π/6)
＝-√3/4

になるので、計算間違いか積分のミス

回答No.5

arrysthmia

＞ ここで計算をしていってもなぜか答えが一致しません。

∫[θ=-6/π→2/π] -(sin 2θ)(cos θ) dθ = -√3/4
ですから、間違いは、貴方が質問文に書かなかった、
それ以後の部分にあります。

x = sin θ と置いたことに、悪い点は何もありません。
それは、極普通の考え方のひとつです。やり方は何通りも
ありますが。

回答No.4

info22

> =∫[-6/π→2/π](-sin2θcosθ)dθとなりました。
ここまでは合っています。

この積分をすると
> 答えは-√3/4です。
が出てきます。

>ここで計算をしていってもなぜか答えが一致しません。
「計算をしていった」途中計算の
（省略されて）書かれなかった計算の中に、計算間違いがあります。

>どこが間違えているのかわかりません。わかる方がいらっしゃいましたら
書いてない計算の中にある計算ミスですから、
どこが間違えているかは、具体的に書きようがないですね。

積分に熟達した先輩方なら、一番簡単な「解答の計算法」で積分します。
質問者さんの方法でも積分できますから、積分してみれは良いです。積分はやり方で計算量が増加し、計算ミスが起こる機会が増加します。
時間が許せば、一度は思いつく色々なやり方で積分してみて、解き方の簡単さ、単純さ、間違いやすさを比較して見るのも良いでしょう。

まだ積分の経験が浅いため、同じx=sinθの置換をされているようですが、極座標や単位円の考え方が身についている人なら、通常、x=cosθと置換しますね。チェックする際、戸惑いました。

回答No.3

Tacosan

とりあえず 6/π とか 2/π じゃなくって π/6 や π/2 ね.
で計算してみたんだけど, ∫[-π/6→π/2](-sin2θcosθ)dθ からどうするつもりだったんでしょうか? そこが分からんと何とも.
簡単には
∫[-π/6→π/2](-2sinθ)cos^2θdθ = [(2/3)cos^3θ][-π/6→π/2] で答えが出るはず.

回答No.2

owata-www

念のために言っておくと部分積分使ってます

あと、私にはなぜ
=∫[-6/π→2/π](-sin2θcosθ)dθと変形して、この後どのように積分したのかがわかりません