解析の問題です。

質問

解析の問題です。
ぜひ、教えてください
(1)次の極限値を求めよ。
(1)lim[x→0]tan^-1(1/x)
(2)lim[x→0](x-1)/{(cos^-1x)^2}

(2)次の定積分を求めよ。
(1)∫(0～π/2)sin^2xcos^3xdx
(2)∫(0～1)xtan^-1xdx
この問題をできれば、詳しい途中式とともに教えてください。
どうぞよろしくお願いします。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

#2です。

>その前に(1)の(1)は問題間違いでした。
>lim[x→0]xtan^-1(1/x)
>が正しい問題です。
>(1)(1)lim[x→0]xtan^-1(1/x)
>t=tan^-1(1/x)とおくと
>　　1/x=tant
>x→0のときt→π/2
間違い。
x→+0のときt→π/2
x→-0のときt→-π/2
です。

>lim[x→0]xtan^-1(1/x)=lim[t→π/2]t/tant=0
lim[x→±0]xtan^-1(1/x)=lim[t→±π/2]t/tant=0
どちらでも収束値は合っているね。

>　(2)lim[x→0](x-1)/{(cos^-1(x)}^2
>=-1/(π/2)^2
>=-1/(π^2/4)
>=-4/π^2
これは合っている。

>(2)次の定積分を求めよ。
>　(1)∫(0～π/2)sin^2xcos^3xdx
>　　　=∫(0～π/2)sin^2(1-sin^2)cosxdx
>=∫(0～π/2)(sin^2-sin^4)cosxdx
>=∫(0～π/2)sin^2(cosx)-sin^4(cosx)dx
>=[(1/3)sin^3x-(1/5)sin^5x](0～π/2)
>=(1/3-1/5)-0
>=2/15
合っている。

>　(2)∫(0～1)xtan^-1xdx
>t=tan^-1xとおくとx:0→1のときt:0→π/4
x=tant dx=1/(cos^2t)dt

>∫(0～1)xtan^-1xdx
>=∫(0～π/4)tant/cos^2tdt…(★)
ここで間違い。
正：=∫(0～π/4)(tant)*t/cos^2tdt ←(tが抜けていた）
なので以降の計算はだめ。計算しなおして見てください。
もちろん積分結果も間違い。
正しく積分すると#2に書いた
(π/4)-(1/2)=(π-2)/4
が出てくる。

>(2)の答えが二つとも違いました。どこが間違っていたか教えてください。
（★）の被積分関数の分子に「t」を掛け忘れている。

お礼

#4の方にもお礼を書かせていただきましたが、
本当にありがとうございました。
もう少し、頑張って解いてみます。
遅くまで付き合っていただき、ありがとうございました。

回答No.4

info22_

#2,#3です。

A#3の解答の補足です。

A#2で書いた答えのうち
(2)-(1)は
「1/3」は間違い（←書き忘れました）で、A#3に回答しましたが、質問者さんの補足した「2/15」が正しかったですね。
なので2つとも間違いではなく、補足の解答は(2)(1)は正しく、(2)(2)は間違いでした。

お礼

ありがとうございました。
すごくためになりました。
これからも、自分の意見、解答も入れて
質問させていただきます。
遅い時間まで、また、何度も教えていただきありがとうございました。
頑張っていきます。

回答No.2

info22_

問題を丸投げしないで分かる範囲の自力解答を書いて質問しよう。そして行き詰って分からない箇所を質問してくれれば回答します。

各問いの何が分かりませんか？
(1)-(1)
[x→0]は[x→+0]または[x→-0]のどちらか書いてないですか？
単に[x→0]だけだと、答えが2通りになります。

(1)-(2)
ただx→0とするだけです。

(2)-(1)
I=∫(0～π/2)sin^2xcos^3xdx
= 1/3
途中計算は自分で分かる所まで補足に書いて下さい。

(2)-(2)
I=∫(0～1)x*arctan(x)dx
=(π-2)/4
途中計算は自分で分かる所まで補足に書いて下さい。

補足

すみませんでした。
自分なりの解答です。採点と手直しをよろしくお願いします。
その前に(1)の(1)は問題間違いでした。
lim[x→0]xtan^-1(1/x)
が正しい問題です。
(1)(1)lim[x→0]xtan^-1(1/x)
t=tan^-1(1/x)とおくと
　　1/x=tant
x→0のときt→π/2
lim[x→0]xtan^-1(1/x)=lim[t→π/2]t/tant=0

　(2)lim[x→0](x-1)/{(cos^-1(x)}^2
=-1/(π/2)^2
=-1/(π^2/4)
=-4/π^2

(2)次の定積分を求めよ。
　(1)∫(0～π/2)sin^2xcos^3xdx
　　　=∫(0～π/2)sin^2(1-sin^2)cosxdx
=∫(0～π/2)(sin^2-sin^4)cosxdx
=∫(0～π/2)sin^2(cosx)-sin^4(cosx)dx
=[(1/3)sin^3x-(1/5)sin^5x](0～π/2)
=(1/3-1/5)-0
=2/15

　(2)∫(0～1)xtan^-1xdx
t=tan^-1xとおくとx:0→1のときt:0→π/4
x=tant dx=1/(cos^2t)dt

∫(0～1)xtan^-1xdx
=∫(0～π/4)tant/cos^2tdt
=∫(0～π/4)(sint/cost)(1/cos^2t)dt
=∫(0～π/4)sint/cos^3tdt
=∫(0～π/4)(cos^-3t)(sint)dt
=[(1/2)cos^-2(t)](0～π/4)
=(1/2)(1/(1/√2)^2)-(1/2)(1/(1^2)
=1-(1/2)=1/2
と解きました。長くなりましたが、よろしくお願いします。

(2)の答えが二つとも違いました。どこが間違っていたか教えてください。

回答No.1

alice_44

自信の有無はともかく、
まず、貴方自身の答案を補足に書こう。
全ては、それから。

貴方がどこで詰まったか判らないと
解説のしようがないし、
他人の解答をボーっと眺めても、
後で自分でできるようにはならない。

お礼

親切な解答ありがとうございました。
ご指摘の通りです。自分で解いてみて、自信がなくても
解き方・考え方を書くのが、本当の勉強でした。
すみませんでした。今後は、自分の解答と一緒に質問したいと思います。
急ぎの質問でしたので、alice_44さんの解き方と解説が、見れずに残念でしたが、
また、どうぞよろしくお願いします。
ありがとうございました。

補足

すみませんでした。
自分なりの解答です。採点と手直しをよろしくお願いします。
その前に(1)の(1)は問題間違いでした。
lim[x→0]xtan^-1(1/x)
が正しい問題です。
(1)(1)lim[x→0]xtan^-1(1/x)
t=tan^-1(1/x)とおくと
　　1/x=tant
x→0のときt→π/2
lim[x→0]xtan^-1(1/x)=lim[t→π/2]t/tant=0

　(2)lim[x→0](x-1)/{(cos^-1(x)}^2
=-1/(π/2)^2
=-1/(π^2/4)
=-4/π^2

(2)次の定積分を求めよ。
　(1)∫(0～π/2)sin^2xcos^3xdx
　　　=∫(0～π/2)sin^2(1-sin^2)cosxdx
=∫(0～π/2)(sin^2-sin^4)cosxdx
=∫(0～π/2)sin^2(cosx)-sin^4(cosx)dx
=[(1/3)sin^3x-(1/5)sin^5x](0～π/2)
=(1/3-1/5)-0
=2/15

　(2)∫(0～1)xtan^-1xdx
t=tan^-1xとおくとx:0→1のときt:0→π/4
x=tant dx=1/(cos^2t)dt

∫(0～1)xtan^-1xdx
=∫(0～π/4)tant/cos^2tdt
=∫(0～π/4)(sint/cost)(1/cos^2t)dt
=∫(0～π/4)sint/cos^3tdt
=∫(0～π/4)(cos^-3t)(sint)dt
=[(1/2)cos^-2(t)](0～π/4)
=(1/2)(1/(1/√2)^2)-(1/2)(1/(1^2)
=1-(1/2)=1/2
と解きました。長くなりましたが、よろしくお願いします。