大至急お願いします。関数近似の計算がわかりません

質問

大至急お願いします。関数近似の計算がわかりません。
次の問題を近似せよ。
(1)(1+0.01)^2
(2)(1+0.01)^(1/2)
(3)sin35
(4)cos35
(5)sin5
(6)cos5
よろしくお願いします。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

(1)(1+0.01)^2
(1+x)^2=1+2x+x^2
|x|<<1なら　x^2<<|x|なので
(1+x)^2≒1+2x
と近似できる。

x=0.01(<<1)とおけば
(1+0.01)^2≒1+2*0.01=1.02

[検証](1+0.01)^2=1.0201≒1.02

(2)(1+0.01)^(1/2)
(1+x)^(1/2)=1+x/2-x^2/8+x^3/16+...(マクローリン展開)
x<<1のとき
(1+x)^(1/2)≒1+x/2

x=0.01(<<1) とおけば
(1+0.01)^(1/2)≒1+0.01/2=1.005

[検証](1+0.01)^(1/2)=√1.01=1.00498756…≒1.005

(5)sin5°
=sin(5π/180)=sin(0.087266…)
sin(x)=x-(1/6)x^3+...(マクローリン展開)
x<<1のとき
sin(x)≒x
x=0.087(<<1)とおいて
sin(0.087266…)≒0.0872

[検証]sin5°=0.0871557…

(6)cos5°=cos(5π/180)=cos(0.087266…)
cos(x)=1-(1/2)x^2+(1/24)x^4-...(マクローリン展開)
x<<1のとき
cos(x)≒1-(1/2)x^2
x=0.087(<<1)とおいて
cos(0.087266…)≒1-(1/2)*0.087^2=0.9962155≒0.9962

[検証]cos5°=0.996194698…

(3)sin35°=sin(30°+5°)
=(1/2)cos5°+(√3/2)sin5°

(5),(6)で求めたsin5°とcos5°の近似値を代入して
≒0.5*0.9962+0.8660*0.0872≒0.5736

[検証]正確な値sin35°=0.573576…

(4)cos35°=cos(30°+5°)
=(√3/2)cos5°-(1/2)sin5°
≒0.8660cos5°-0.5sin5°

(5),(6)で求めたsin5°とcos5°の近似値を代入して
≒0.8660*0.9962-0.5*0.0872
≒0.81911

[検証]正確な値cos35°=0.8191520…

回答No.2

spring135

(3)sin35
(4)cos35
(5)sin5
(6)cos5

数字は°ですか、ラジアンですか。

回答No.1

notnot

(1+x)^n において、1に比べてxが十分小さいとき、

(1+x)^n ≒ 1 + nx

です。従って、

(1) (1+0.01)^2 ≒ 1.02

以下同様。