不定積分∫√[x(x+1)] dx の問題についておしえてください。

質問

教えていただきたいのは以下の問題です。

∫√[x(x+1)] dx を適当な初等関数を用いた変数変換で有理関数の積分に帰着させよ
(積分は実行しなくてもよい)

√(x(x+1)) = √(x^2+x) = (1/2)*√[{2(x+(1/2))}^2-1]

2(x+(1/2)) = 1/Cos[x] とおくと

dx = {(2x+1)^2/2}*Sin[θ] dθ

∴∫√[x(x+1)] dx

= ∫(1/2)√[(1/Cos^2[θ])-1]*{(2x+1)^2/2}*Sin[θ] dθ

= ∫(1/4)*Tan[θ]*Sin[θ]/Cos^2[θ] dθ

=…

でいいのでしょうか?
また、積分を実行するとしたらどうすればいいのか教えてください。

回答No.1

rabbit_cat · ベストアンサー

高校生ですよね。
結局は、
∫√(x^2-1)dx
の積分をどうするかだと思います。
質問者さんは、おそらく、
1/cos^2(t) - 1 = tan^2(t)
という式を思い浮かべて変数変換したんだと思いますが、
その方針だとうまく行かないですね。

実は、大学生であれば、この積分は見た瞬間に、
x = cosh(t) = {exp(t) + exp(-t)}/2
と置き換えようと考え付かないとおかしいんですが、高校生には厳しいですね。（高校では双曲線関数習いませんから）

その代わり、高校生というか大学受験の世界では、
∫√(x^2-1)dx や、∫1/√(x^2-1)dx なんかは、
t = log{x+√(x^2-1)}
という変数変換をするというのが定石ということになっています。
こんな変数変換は覚えていなければ絶対に思いつくわけがないので、覚えるしかないです。

※双曲線関数（cosh, sinh）についても、知っていると出題の背景が分かったりして圧倒的に有利になる問題もあるので、ちょっとだけでも知っているといいかもしれません。

お礼

すいません、、、とても言いにくいんですが――　　大学生です(笑)
丁寧な解説ありがとうございます。勉強になりました。
きっと高校大学と相当勉強なさった方なんでしょうね、おそれいります。
あと、
＞= ∫(1/4)*Tan[θ]*Sin[θ]/Cos^2[θ] dθ
を経由できたとすれば
Tan[θ/2] = t
とおいてやればよかったのですね。

回答No.2

proto

有理関数の積分に帰着というなら、
　　√(x(x+1)) = (x+1)*√(x/(x+1))
と変形してから、t=√(x/(x+1))と変数変換してみてください。
　　t = √(x/(x+1))
　　t^2 = x/(x+1)
　　x = (t^2)/(1-t^2)
よりdx/dtがtについての有理関数で表されます。
また
　　x+1 = (t^2)/(1-t^2) +1 = 1/(1-t^2)
　　√[x(x+1)] = t
ですから、被積分関数も全てtについての有理関数で表されます。
これで、変数変換によって有理関数の積分に帰着できるというわけです。

お礼

この変形
＞√(x(x+1)) = (x+1)*√(x/(x+1))
が一番自然なきがしますね。
三角関数でおくことばかり考えてました。
ありがとうございます。