フーリエの問題について

質問

f(x)=sgn(x) + cosπx + sin5πx (-1≦x<1)に関して
sgn(x)は
-1(-1≦x<0)
1(0≦x<1)
の時、

実数a,bを用いて、g(x)=a*cosπx + b*sin5πxを構成するとき、

E(a,b) = ∫ | f(x) - g(x) |^2 dx　(∫は、-1~1)

をa,bで表わせ、という問題ですが、途中まで解き、留まっている状態です。

∫ | (1-a)cosπx + (1-b)sin5πx - 1 |^2 dx + ∫ | (1-a)cosπx + (1-b)sin5πx + 1 |^2 dx

(∫は、左から-1~0,0~1)

で止まってしまっています。ここからどのように解けばいいのでしょうか？

よろしくおねがいします。

回答No.1

bran111 · ベストアンサー

E(a,b) = ∫(-1→1） | f(x) - g(x) |^2 dx=∫(-1→1)[ f(x) - g(x)]^2 dx

=∫(-1→1)[sgn(x) + cosπx + sin5πx -(a*cosπx + b*sin5πx)]^2 dx

=∫(-1→1)[sgn(x) +(1-a) cosπx +(1-b)sin5πx]^2 dx

=∫(-1→0)[-1+(1-a) cosπx +(1-b)sin5πx]^2 dx+∫(0→1)[1+(1-a) cosπx +(1-b)sin5πx]^2 dx

=∫(-1→0)[1+(1-a)^2cos^2(πx) +(1-b)^2sin^2(5πx)

-2(1-a)cosπx-2(1-b)sin5πx+2(1-a)(1-b) cosπxsin5πx] dx

+∫(0→1)[1+(1-a)^2cos^2(πx) +(1-b)^2sin^2(5πx)

+2(1-a)cosπx+2(1-b)sin5πx+2(1-a)(1-b) cosπxsin5πx] dx

=∫(-1→1)[1+(1-a)^2cos^2(πx) +(1-b)^2sin^2(5πx)+2(1-a)(1-b) cosπxsin5πx] dx

-2∫(-1→0)[(1-a)cosπx+(1-b)sin5πx]dx+2∫(0→1)[(1-a)cosπx+(1-b)sin5πx]dx

倍角公式,加法定理を用いて

∫cos^2(πx)dx=∫{[1+cos(2πx)]/2}dx=x/2+sin(2πx)/4π

∫sin^2(5πx)dx=∫{[1-cos(10πx)]/2}dx=x/2-sin(10πx)/20π

∫cosπxsin5πxdx=∫(sin6πx+sin4πx)/2dx=-cos6πx/12π-sin4πx/8π

E(a,b) ={x+(1-a)^2[x/2+sin(2πx)/4π]+(1-b)^2[x/2-sin(10πx)/20π]

+2(1-a)(1-b) [-cos6πx/12π-sin4πx/8π]} (-1→1)

-2[(1-a)sinπx/π+(1-b)sin5πx/5π](-1→0)+2[(1-a)sinπx/π+(1-b)sin5πx/5π](0→1)

=2+(1-a)^2+(1-b)^2

お礼

ありがとうございました。
無事に解くことができました。