解析学の質問です(3)

質問

次の問題の解答とその導き方を教えてください。
【∫{1/(1-cosx)}dx】
上の式のみが書かれているのが、問題です。
私は計算の結果、1/3sin^3 xが出ました。
合っていると嬉しいのですが……。
ちなみに、tanx/2=tとおいて、三角関数の二倍角の公式を使いました。

回答No.1

yyssaa · ベストアンサー

＞tan(x/2)=tとおくと、t^2=sin^2(x/2)/cos^2(x/2)
={1-cos^2(x/2)}/cos^2(x/2)からcos^2(x/2)=1/(t^2+1)
dt/dx={(1/2)cos^2(x/2)+(1/2)sin^2(x/2)}/cos^2(x/2)
=1/{2cos^2(x/2)}=1/{2/(t^2+1)}=(t^2+1)/2
dx=2dt/(t^2+1)
cosx=cos^2(x/2)-sin^2(x/2)=2cos^2(x/2)-1
=2/(t^2+1)-1={2-(t^2+1)}/(t^2+1)=(1-t^2)/(t^2+1)
∫{1/(1-cosx)}dx=∫[1/{1-(1-t^2)/(t^2+1)}]*2dt/(t^2+1)
=∫[(t^2+1)/{(t^2+1)-(1-t^2)}]*2dt/(t^2+1)
=∫(1/t^2)dt=(-1/t)=-1/tan(x/2)
tan(x/2)=sin(x/2)/cos(x/2)=sin(x/2)cos(x/2)/cos^2(x/2)
={(sinx)/2}/{(1+cosx)/2}=sinx/(1+cosx)で戻して
∫{1/(1-cosx)}dx=-1/tan(x/2)=-(1+cosx)/sinx

お礼

ありがとうございました！

回答No.2

yyssaa

合っていると嬉しいのですが……。
＞1/3sin^3 xをxで微分して{1/(1-cosx)}になれば合っています。