【高２数学】三角関数の微分

質問

画像の問題16番（1）が分かりません！これはライプニッツの公式を使うのでしょうか？使ってもいまいち回答と合いません。
誰か教えて下さい！

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

単純に考えて、積の微分公式を使えばいいです。
{f(x)g(x)}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)　…(★)
この公式に以下の式を代入してやればいいでしょう。

f(x)=(sin(x))^3,g(x)=(cos(x))^2
f'(x),g'(x)の計算は合成関数の微分公式
{p(q(x))}'=p'(q(x))q'(x)を使えばいいでしょう。
f'(x)=3(sin(x))^2*(sin(x))'=3(sin(x))^2*cos(x)
g'(x)=2cos(x)(cos(x))'=-2cos(x)sin(x)

これらを（★）の式に代入し式を整理し簡単化してやればいいでしょう。
三角関数の場合、(sin(x))^2+(cos(x))^2=1という公式や2倍角の公式などで式を色々変形できますので、答えは色々な式で表されます。色々な答えは式を相互に変形できますので簡単化されていればどの式表現の答えも正解になります。

参考書や教科書の問題の回答例は複数の表現の１つに過ぎませんから、あなたの答えの表現と一致しない場合で、あなたの答えも正解となる場合も当然あります。

答えの例（すべて正解）
3(cos(x))^3*(sin(x))^2-2*cos(x)(sin(x))^4 …（微分公式を使った素直な答え）
共通因数を括りだした答え
(sin(x))^2*cos(x){3(cos(x))^2-2(sin(x))^2}
さらに2倍角の公式適用
4cos(x){1-cos(2x)}{1+cos(2x)}=4cos(x)(sin(2x))^2
その他
3cos(x)(sin(x))^2-5cos(x)(sin(x))^4
-5(cos(x))^5+7(cos(x))^3-2cos(x) … (cos(x)だけの式)
など。
他の正解もありえます。
あなたの答えは上のどれかにありますか？
なければ補足にお書きください。
答えが正解かチェックしましょう。

お礼

本当にありがとうございます！！
謎が解けました！ものすごく感謝しています！ありがとうございました！

回答No.2

mister_moonlight

微分の積の公式を使うにしても、できるだけ簡単にしてからやるとミスが防げる。
このままやるような猪突猛進の愚行は避けたい。
還暦の老人には、3倍角の公式は考えられないようだ。。。。。ｗ。いや、もう忘れてるだろう。

3倍角の公式：sin3x＝3sinx-4sin＾3x　より　4sin＾3x＝3sinx-sin3x　‥‥(1)
2倍角の公式より、2cos＾2x＝1＋cos2x　だから、もとめるものをＭとすると、8Ｍ＝(3sinx-sin3x)*(1＋cos2x)　を微分する事になる。
後は、展開してから微分しても良いし、このまま積の公式を使っても良い。

(注)
三角関数は、2乗や3乗が出てきたら、倍角や3倍角の公式を使って、次数を下げてやるとうまくいく事が多い。