ライプニッツの公式 導関数

質問

fn(x)=x^n*logx
fn(x)のn+1階導関数を求める問題で

ライプニッツの公式を使うためのx^nの導関数を求めるのはわかります。
場合分けするのも分かりますが、
t≦nのとき
n!x^n-tではない理由がよくわかりません。
あとライプニッツの公式を使う際どちらの関数をf,gとおくか迷います。
判断基準はありますか？

画像3行目　x^nのｔ階導関数です。
4行目x^-1 ですがx^n-tです。
間違えました

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

「導く」のは、ちょっと困難でしょう。
係数に分母 1 を補って
n(n-1)(n-2)…(n-t+1)/1 と解釈し、
分子分母を (n-t)! 倍すれば
n!/(n-t)! は現れますが、
「…」を含んだ式はマトモな数式とは言えないし、
「…」を総積記号 Π で表現してみたところで、
そもそも三行目の式へ行くまでに
正式には数学的帰納法が必要です。
例示→推測→証明 によって得るべき公式
なのだと思います。

お礼

了解しました。
答え見てもいきなりだったのでどう導くか考えていました。
ありがとうございましたm(_ _)m

回答No.2

alice_44

一点め：
n に具体的な自然数を代入して、
t = 1, 2, 3, …, n-1, n, n+1, … について
(d/dx)^t x^n を計算してみなさい。

例えば、n = 4 について
(d/dx) 　x^4 = 4x^3,
(d/dx)^2 x^4 = 4・3x^2,
(d/dx)^3 x^4 = 4・3・2x,
(d/dx)^4 x^4 = 4・3・2・1,
(d/dx)^5 x^4 = 0,
(d/dx)^6 x^4 = 0,
(d/dx)^7 x^4 = 0,
…
です。

(d/dx)^t x^n = {n!/(n-t)!}x^(n-t) が成り立つのは、
t がどんな範囲にあるときですか？

二点め：
(d/dx)^t f(x)g(x) に関するライプニッツの公式は、
f, g について対称です。どちらを f どちらを g としても
同じ結果になります。

もとの関数を、どう分解して f と g に分けるか
という点には、経験からくる勘が必要かもしれませんが。

補足

tの範囲によって式が別れるのは分かりました。
具体的な数字をいれて逆算する方法ではなく
{n!/(n-t)!}の部分を3行目の式変形だけでは導けませんか？

2点目も分かりました。ありがとうございます。

回答No.1

Tacosan

「ライプニッツの公式を使う際どちらの関数をf,gとおくか迷います」って....

そもそも f や g が何か言わないと無意味だし, 実際にやってみれば迷うのも無意味であることがわかるはず.

ちなみに本題に関して言えば, t=1 を考えれば「n!x^n-tではない」ことは自明だと思う.