n次導関数の求め方

質問

ｘ＾3・sinｘのn次導関数を求めたいんですけどやり方がよくわかりません。これはライプニッツの公式をつかうらしいんですけど…帰納法じゃできないんですか？あとよろしければライプニッツを使った解法もおしえてもらえればうれしいです。よろしくお願いします。

回答No.2

sakura_214 · ベストアンサー

合成関数の微分の公式
D(fg)=D(f)g+fD(g)
から何回か微分を行い，結果なり関係式なりを適当に推測して，それを帰納法を使って証明する方法でも別に問題ありません．

ライプニッツの公式は，２項定理
(a+b)^n=Σ[k=0,n]C[n,k]a^k*b^(n-k)　（C[n,k]はnCkのこと・・・掲示板では見にくいので）
の「微分バージョン」みたいなもので
D^(n)(fg)=Σ[k=0,n]C[n,k]D^(k)f*D(n-k)g　（D^(k)はk階微分のこと）---(*1)
というように合成関数の微分公式をn階微分まで拡張したものです．この公式を使えば推測して帰納法で証明しなくても一気に結果を求めることができます．

とはいうものの，実際この公式を適用するためには(*1)の右辺を見ればわかるように，個々の関数fとgについての1～n階微分までの情報はあらかじめ知っている必要があります．
この問題では個々の関数の微分は下のように
x^3 → 3x^2 → 6x→ 6 →0（以降すべて0）
sin(x) → cos(x) → -sin(x) → -cos(x) → …（以降繰り返し）---(*2)
簡単に求められます．しかもx^3の方は4次以上の微分は0なので，f=x^3, g=sin(x)とおくと(*1)の右辺でk=4以降の項は出てきません．すなわち，
D^(n)(x^3*sin(x))=x^3*D^(n)(sin(x))+C[n,1]*3x^2*D^(n-1)(sin(x))+C[n,2]*6x*D^(n-2)(sin(x))+C[n,3]*6*D^(n-3)(sin(x))
となります．sin(x)の微分は(*2)よりまとめて
D^(n)(sin(x))=sin(x-nπ/2)
とかけますので，
D^(n-1)(sin(x))=sin(x-nπ/2+π/2)=cos(x-nπ/2)
D^(n-2)(sin(x))=cos(x-nπ/2+π/2)=-sin(x-nπ/2)
・・・
のように変形しておけば，最終的に
D^(n)(x^3*sin(x))=x^3*sin(x-nπ/2)+3nx^2*cos(x-nπ/2)-3n(n-1)x*sin(x-nπ/2)-n(n-1)(n-2)*cos(x-nπ/2)
となることがわかります．

お礼

丁寧にありがとうございます。とても参考になりました。

回答No.1

mickel131

「ｘ＾3・sinｘのn次導関数を求めたいんです」
合成関数の微分法を使って、微分していくことです。
ｘ＾3・sinｘのn次導関数をI（ｎ）とおいて、これを微分する。何回も微分して、ｘ＾3の部分の次数が下がっていき、I（ｎ）、I（ｎ-1）、I（ｎ-2）などから成る漸化式を求め、その漸化式を解く。そんなことを思いつきます。

「ライプニッツの公式をつかうらしい」
ライプニッツの公式って何を指しているんですか？
そんなこと誰が言ったの？微分法を開発したのはライプニッツです。もしかして、そういう名前の付いた高度な定理があるかもしれないが、そんな定理を使うより、普通の方法を学ぶべきです。

「帰納法じゃできないんですか？」
できるでしょう。やってみたらいい勉強になるんじゃないかなぁ・・・。

この問題を解いたわけではないので、自信なし、にしておきますが、本当の「自信なし」じゃありません。