合成関数の微分の公式
D(fg)=D(f)g+fD(g)
から何回か微分を行い，結果なり関係式なりを適当に推測して，それを帰納法を使って証明する方法でも別に問題ありません．
ライプニッツの公式は，２項定理
(a+b)^n=Σ[k=0,n]C[n,k]a^k*b^(n-k) （C[n,k]はnCkのこと・・・掲示板では見にくいので）
の「微分バージョン」みたいなもので
D^(n)(fg)=Σ[k=0,n]C[n,k]D^(k)f*D(n-k)g （D^(k)はk階微分のこと）---(*1)
というように合成関数の微分公式をn階微分まで拡張したものです．この公式を使えば推測して帰納法で証明しなくても一気に結果を求めることができます．
とはいうものの，実際この公式を適用するためには(*1)の右辺を見ればわかるように，個々の関数fとgについての1～n階微分までの情報はあらかじめ知っている必要があります．
この問題では個々の関数の微分は下のように
x^3 → 3x^2 → 6x→ 6 →0（以降すべて0）
sin(x) → cos(x) → -sin(x) → -cos(x) → …（以降繰り返し）---(*2)
簡単に求められます．しかもx^3の方は4次以上の微分は0なので，f=x^3, g=sin(x)とおくと(*1)の右辺でk=4以降の項は出てきません．すなわち，
D^(n)(x^3*sin(x))=x^3*D^(n)(sin(x))+C[n,1]*3x^2*D^(n-1)(sin(x))+C[n,2]*6x*D^(n-2)(sin(x))+C[n,3]*6*D^(n-3)(sin(x))
となります．sin(x)の微分は(*2)よりまとめて
D^(n)(sin(x))=sin(x-nπ/2)
とかけますので，
D^(n-1)(sin(x))=sin(x-nπ/2+π/2)=cos(x-nπ/2)
D^(n-2)(sin(x))=cos(x-nπ/2+π/2)=-sin(x-nπ/2)
・・・
のように変形しておけば，最終的に
D^(n)(x^3*sin(x))=x^3*sin(x-nπ/2)+3nx^2*cos(x-nπ/2)-3n(n-1)x*sin(x-nπ/2)-n(n-1)(n-2)*cos(x-nπ/2)
となることがわかります．
お礼
丁寧にありがとうございます。とても参考になりました。