合成関数質問:(大学受験)
今、合成関数の分野を勉強していますがわからない問題があります。これは大学受験用参考書に載っている問題です。どなたかおわかりになる方がいらっしゃれば教えていただきたいと思います。宜しくお願いいたします。
0<=x<=1で定義された関数f(x)= |2x-1|について、y=f(f(x))のグラフをかけ。という問題です。
解答は
y=f(x)のグラフより
1/2<=f(x)<=1となるのは、0<=x<=1/4, 3/4<=x<=1のとき
0<=f(x)<1/2となるのは、 1/4<x<3/4のとき。
したがって
y=f(f(x))= |2f(x)-1|=
2f(x)-1 (0<=x<=1/4,3/4<=x<=1)
-2f(x)+1 (1/4<x<3/4)
とあります。
ですが、「したがって」以降どうしてこうなるのか、どうしてこのようなことをするのかがわかりません。範囲が関係しているのだとは思うのですが…。
私は、f(x)= 2x-1(1/2<=x<=1),f(x)= -2x+1(0<=x<1/2)
としたあと、(1/2<=x<=1)のとき、f(f(x))= 2x-1=2(2x-1)-1
(0<=x<1/2)のときf(f(x))= -2x+1=-2(-2x+1)+1としましたが、1/2の点で不連続のグラフとなってしまいました。ですが、どうして解答のように1/4や3/4の点で範囲をわけないといけないのかわかりません。
私の勉強不足なのですが質問する人がいないため、困っています。どなたかご存知の方がいらっしゃれば、教えていただきたいと思います。また説明不足の点があれば補足させていただきますので宜しくお願いいたします。