連続関数

質問

連続関数について質問です。関数f(X)
において、定義域に属するＸの値Ａに対して極限値が存在するならばＸ＝Ａで連続であると教科書にかいてあったのですが、Ｘ＝Ａで連続ならばグラフはすべて連続な関数になるのですか？連続関数とは極限値が存在する事によって連続関数と言えるのですか？連続関数とは大まかに言えば何ですか？教えてくださいお願いします。

回答No.4

virtualnanolab · ベストアンサー

誤「定義域内の関数が途中で切れたりしない部分を連続関数」
正「定義域内の関数が途中で切れたりしなければ、連続関数」
定義域内のどこか一ヶ所でも切れていれば連続関数ではない。

お礼

理解できました。ありがとうございました。

回答No.3

quantum2000

全体的には、Ｎｏ．１，２さんの記述のとおりでよいと思いますが、

「ｘ＝Ａで、ｆ（ｘ）が連続」という場合は、正確には、
左極限と右極限が、ともにｘ＝Ａでの関数の値に一致する、
としないといけないと思われます。
つまり、
（左極限）＝（右極限）＝ｆ（Ａ）

お礼

理解できました。ありがとうございました

回答No.2

virtualnanolab

x=Aで連続でも、関数f(x)は定義域のすべてのxの値について、連続とは限りません。
f(x)=[x](0.25<x<0.75)
これは連続関数です。
f(x)=[x](0.25<x<1.25)
これはx=1で不連続なので、連続関数ではありません。
なぜならば、左極限と右極限が一致しないからです。
グラフにプロットすると、x=1で切れています。
lim_x→1-0 f(x)=0、lim_x→1+0 f(x)=1

連続関数はガウス関数f(x)=[x]で考えると良いです。また、既習かどうかはわかりませんが、微分可能性と関連付けて学習すると効果的です。

お礼

理解できました。ありがとうございました

補足

定義域内の関数が途中で切れたりしない部分を連続関数と言うのですか？

回答No.1

virtualnanolab

連続関数は、イメージとして、問題になっている定義域で関数が途中で切れたりしないことです。

数式では、極限値が右極限と左極限が一致すればx=Aで連続です。

lim_x→A+0 f(x)=lim_x→A-0 f(x)

f(x)=[x]は、xが整数値で不連続です。
f(x)=│x│

お礼

理解できました。ありがとうございました

補足

定義域内の関数が途中で切れたりしない部分を連続関数と言うのですか？