周期関数

質問

F(x)が周期関数であることの証明問題で、周期はpなのに、結論がF(x)は周期が2pの周期関数であるとなったらそれだけでその証明はまちがっているということになるのでしょうか？

回答No.5

FT56F001

#3さん説に一票。
>F(x)が周期関数であることの証明問題
なら，基本周期もあわせて求めるのがスジでしょう。

>周期はpなのに、結論がF(x)は周期が2pの周期関数であることを示した
だけでは，不完全であって，正解とは言えないと思います。

回答No.4

麻野 なぎ（@AsanoNagi）

No.1 です。
求められているのが、「周期関数であること」なら、周期性を示せばＯＫです。
周期関数の定義が満たされていることは証明できているので。

回答No.3

info22_

周期pの周期関数F(x)は
　F(x-np)=F(x) (nは任意の整数) ...(1)
という性質をもつ。

このF(x)についてmを任意の整数として
　F(x-m(2p))=F(x-(2m)p)
(1)でn=2mとおけば
　F(x-(2m)p)=F(x)
従って
　F(x-m(2p))=F(x)
となるのでF(x)は周期2pの関数でもあると言える。
しかし逆は正しいと言えない（真ではない）。

一般的にF(x)が周期pの周期関数であれば、F(x)はpの任意正整数n倍の周期np関数でもあります。周期の最小のものを基本周期と呼びます。周期関数の周期は通常基本周期のことを言います。

本題に戻ると
>F(x)が周期関数であることの証明問題で、周期はpなのに、結論がF(x)は周期が2pの周期関数であるとなったらそれだけでその証明はまちがっているということになるのでしょうか？

これは、基本周期pについての証明を2倍の周期2pについて周期関数であることを証明しても
証明としては不十分であるので、正しい証明とは言えません。

例えば、sin(x)は周期2πの周期関数であることを証明せよ。という証明問題に対して周期4πの周期関数であることを証明しただけでは、sin(x)が周期2πの周期関数であることを証明したことにはなりません。
sin(x)は2nπ(nは任意の自然数)の周期関数でもありますが、n=2の場合だけを証明しても、
sin(x)が周期2πの周期関数であることの証明にはなりませんね。

周期関数の周期性は、最も小さな周期（基本周期）について証明しないと正しい証明とは言えませんね。

回答No.2

Tacosan

証明を見てみないと何とも.

回答No.1

麻野 なぎ（@AsanoNagi）

結論が、「周期関数であること」なら、間違っていない気はします。
周期関数であるかどうかが重要な場合、まず、一番証明しやすい周期で、「周期関数かどうか」を証明するのは、戦略としては間違っていません。

存在証明でも、「存在する」「少なくとも n 個存在する」「たかだか n個存在する」「n個存在する」いろいろなステップがあり得ます。

あと、一般的に、周期 p の周期関数は、任意の自然数 n に対して、周期 np の周期関数でもありますから、少なくとも、その証明は、「いい線はいっている」のでしょう。

補足

なるほど。　では問題が周期関数であることの証明ということであれば基本的に周期は3pでも4pでも問題はないということですか？