周期関数の質問

質問

2f(x)=f(x+2p)+f(x-2p)として　(pは実数) f(0)=1, f(-p)=f(p)=-1だとするとf(x)は周期2pの周期関数になるかという問題なのですが、f((2n-1)p)=-1と f(2np)=0(nは整数）というのが常に成り立つのはわかるのですが、すべてのxでf(x)=f(x+2p)になるという理由がわかりません。回答よろしくお願いします。

回答No.4

tmpname · ベストアンサー

もうちょっとヒント
f(p/2) = 0はあってます。
f(x+p) + f(x)の値はどうなりますか？

お礼

あーなるほど　ありがとうございました　^^

回答No.5

alice_44

f(z+p)+f(z) と書いたほうが、見よいのでは？

お礼

そうですねー　ありがとうございました＾＾

回答No.3

tmpname

No.2さんのヒントの通り、p/2における値を
考えてもう少し頑張るとうまくいけます。

お礼

一応出ましたが、、、　もっとがんばってみます

回答No.2

Tacosan

f(p/2) = ?

お礼

0ですね。。。

回答No.1

tmpname

2f(x)=f(x+2p)+f(x-2p)⇔
f(x+2p)-f(x) = f(x) - f(x-2p)でありますから、
この式はg(x)=f(x+2p) - f(x)とおいた時、
g(x) = g(x-2p)が成り立つことと同値です。

今例としてp=1/2とします。先ほどと同じく
実数xを越えない最大の整数を[x],
{x} = x-[x]とします。f(x)を

f(x) =
1 - (8/3) * {x+1/4} （但し{x+1/4}≧1/2の時）
1 - (8/3) * {x+1/4}[x+1/4] (上記以外)
とすると、
f(0) = 1, f(1/2) = f(-1/2) = -1.

且つ
g(x) = f(x+1) - f(x) =
0（但し{x+1/4}≧1/2の時）
-8/3 {x+1/4} （それ以外）ですから
g(x) = g(x-1).

つまりf(x)は p=1/2における条件を満たしますが、
周期関数ではありません。
先ほどと同様、fは有界とかっていう条件がありませんか？

＊因みに、f(2np)=0(nは整数）は分かったとありますが、
これだとf(0)=0であって問題と矛盾しますよね？

お礼

f(2np)=0(nは整数）は分かったというのはf(2np)=1(nは整数）は分かったの間違えでした

有界って条件はないんですよね。。もとの問題がf:R→Rとして次の条件を満たす
a)f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y) (すべてのx,yは実数）
b)f(p)=-1となるpガ存在する
で、f(x)ガ周期関数ってことの証明ですね。
xとyに０とか-1とかを代入して計算して2f(x)=f(x+2p)+f(x-2p)はでたんですけど、ここからの周期関数であることの結論付けがいまいちわからなくて。。。