また分からなくなってしまいました。

質問

水平面上でP（質量ｍ）にばねを取り付け、
ばねを自然長からaだけ縮ませてからPを放した。
ばねの伸びの最大値Lを求めよ。
ばねの定数はｋ、Pのすべる面の動摩擦係数はμとする。

という問題なのですが、
以下の解答を頂きました。
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実際に運動方程式作りましょう。

水平方向にx軸を取り、ばねが伸びる方向を正とします。
最初にばねを縮ませて動き出した時刻をt=0,そこから伸びきるまでの運動を考えるとその間摩擦は運動方向とは逆、つまり負の方向にかかり-μmgの力となります。

運動方程式は
mx''=-kx-μmg=-k(x+μmg/k)
となります。
y=x+μmg/kと変数変換すると
my''=-ky
となり普通の単振動の運動方程式と同じ形になります。
後はこの方程式の一般解に初期条件(t=0でx=-a.x'=0)をいれ、得られたxの式の最大値を調べればよいでしょう。
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この最終文章がわかりません。
そのようにとけばいいのでしょうか。

回答No.3

delli7 · ベストアンサー

お聞きしたいのですが、運動方程式を使って解けという問題なのでしょうか？
それともあなたが、「運動方程式を使って解きたい、解けるはずだ。」と思っているのでしょうか？
見たところ高校物理？とすると、運動方程式を使って解くとなると加速度=0の解を求めるのかと思ったのですが、
この問題は速度ゼロの解を求める問題ですよね？

だとすると１の方の様にエネルギーで解く方が自然ですね。

エネルギー保存なら
初期バネE=x位置バネE+運動E+その位置までの摩擦E（全てE=エネルギーを省略）
1/2×ka^2=1/2×kx^2+1/2×mx'^2+μmg(a+x)
x'=0を代入して整理すると
x^2-a^2+2μmg(a+x)/k=0
(x+a)(x-a+2μmg/k)=0 -----(1)
前の項が初期状態の解で後ろが求める解ですね。
x=a-2μmg/k
１の方の解と同じです。

mx''=-kx-μmg
x''=-kx/m-μg
をどうしても使いたいというのであれば、積分して
x'=-kx^2/2m-μgx+C1=0 (やっぱりx'速度=0を使う^^;）
x^2+2mμgx/k+C2=0 ----(2)
片方の解はx=-a(初期状態)とわかっているので
a^2-2mμga/k+C2=0
C2=-a^2+2mμga/k
これを(2)に代入して
x^2+2mμgx/k-a^2+2mμga/k=0
x^2-a^2+2mμg(x+a)/k=0
(x+a)(x-a+2mμg/k)=0
（１）と同じ式が出てきました。

お礼

個人的に力学の問題はすべて運動方程式から解きたいという思いから
このような質問をさせて頂きました。

題意とは少し趣旨が違いましたが
一番分かりやすい内容でした。

ありがとうございました。

回答No.4

SKJAXN

運動方程式からの導出に期待している訳ですね。その場合、
my"+ky=0
両辺にy'を掛けると、
my'y"+kyy'=0
⇔∫(my'y"+kyy')dt=0
不定積分をすると、
(1/2)my'^2+(1/2)ky^2=C {Cは積分定数}
これは、エネルギー保存則と一致します。

または大学で学ぶ数学となりますが、運動方程式を
y"+(ω^2)y=0 {ω=√(k/m)}
と変形すると、この式の一般解は時刻をtとして、
y[t]=Asin(ωt)+Bcos(ωt) {A,Bは定数}
となります。この式にt=0のときy=-a+μmg/k、t=T/2(半周期:π/ω)のときy=L+μmg/kを
代入してA.Bを求めれば、0≦t≦T/2の時間に限りy[t]が求まります。

お礼

大学ではそのように導くのですね。
勉強になりました。
ありがとうございました。

回答No.2

rnakamra

my''=-ky
の一般解は
y=Asin{(√(k/m))t}+Bcos{(√(k/m))t}
となります。

これに初期条件t=0でx=-aとx'=0を使うとt=0でy=-a+μmg/k,y'=0ですので
-a+μmg/k=B
0=(√(k/m))A→A=0
が得られます。

y=(-a+μmg/k)cos{(√(k/m))t}
x=(-a+μmg/k)cos{(√(k/m))t}-μmg/k

-a+μmg/k<0 (この式は始動する際のばねの力>最大静止摩擦力>動摩擦力 の関係からわかります)ですのでxが最大値となるのはcos{(√(k/m))t}=-1の時になります。

お礼

ありがとうございました。
納得できました。

回答No.1

SKJAXN

この問題は、バネの持つ弾性エネルギーが摩擦により失うことを問うていると思います。すなわち、
自然長からaだけ縮められたバネが持つエネルギーは、1/2×ka^2であり、摩擦によりμmg(a+L)だけ
エネルギーを失い、結果1/2×kL^2になったと考えるのが良いかと存じます。これを式で表わすと、
1/2×ka^2-1/2×kL^2=μmg(a+L)
⇔k(a+L)(a-L)=2μmg(a+L)
a+L>0より両辺を除して、
a-L=2μmg/k
∴ L=a-2μmg/k

いかがでしょう？

補足

解答ありがとうございます。
エネルギー保存はわかるのですが、
自分としては、運動方程式を立ててから
それを変形して答えを出したかったのです。