高校物理 ばねと運動方程式の関係

質問

高校物理を独学しています。

ばねと運動方程式の関係がよく分かりません。

ｍａ＝ｍｇ－ｋｘ

という運動方程式について、加速度ａも、ばねの力ｋｘも、同じ向きになる様に思えますので、なぜ、「－ｋｘ」となるのか分かりません。
（ばねが縮んでいく時は、バネの力（ｋｘ）は、ばねの縮みの方と逆方向に働き、加速度（ａ）も、速度が遅くなっていくので、ばねの縮みと逆方向に力が働くと思えます。）

インターネットで調べていますと、あるページに、
「ばねの伸び方向にx軸をとると、まずばねが伸びているときには、質点にはx軸の負の方向にちからがはたらきます。符号まで含めると-kxです。次に、ばねが縮んでいるときには今の力はx軸正方向にはたらきますが、このときはx座標が負になるので、結局-kxになります。」
とありますが、なぜ、「このときはx座標が負になる」となるのか分かりません。

初学者にも分かりやすい説明をお願いします。

回答No.3

yokkun831 · ベストアンサー

この疑問は高校レベル特有のものです。

本来，加速度というのは変位xの方向を正にとります。すなわち，変位xの時間による２階微分です。
a = d^2x/dt^2

微分に関してはまだ…という場合でも大丈夫。

ともかくx軸をとったのですから，変位も加速度も力もすべてx軸正方向を正にとる約束です。そこでご紹介の運動方程式を見てみると，

ma = mg - kx

これは，mg > 0になるように座標軸をとっていますから，鉛直下向きが正です。自然長位置が原点ですね？

まず，伸びているときは x > 0 。　しかるに弾性力の方向は上向きですから，-kx < 0。
自然長より縮んでいるときは x < 0。　弾性力は下向きで， -kx > 0。
いずれにせよ，-kx　が正しい力の方向を示しています。

加速度は，mg　と　kx　の「力関係」で決まりますね？
mg > kx なら，a > 0。つまり重力が勝って（x<0なら弾性力も「手伝って」），加速度は下向き。
mg < kx なら，a < 0。つまり上向き弾性力が勝って，加速度は上向きということになります。

お礼

時々、大学生用の本で、微分のことを読んでおりましたが、「a = d^2x/dt^2」と書いてありましても、向きのことまで考えることが出来ませんでした。
いずれは微分を理解しないと…と思いながら、速度が「v = dx/dt」、加速度が「a = d^2x/dt^2」ということだけを覚える様にしていました。
微分のことも少し理解できました。
とても分かりやすい説明をありがとうございます。

回答No.2

sk3819

端的に答えると、「バネの伸びる方向を正の方向と決めたから」「バネの伸びる方向と、バネの力がはたらく方向は逆だから」です。

加速度aとバネの力kxのはたらく方向が同じというのは、質問者様のご指摘の通りです。
「-」を付けるのは、加速度の向きと、バネの力の向きを合わせるためではありません。
加速度の向きと、座標の向きを合わせるためにつけるのです。

「x」はバネの長さの変化分です。
「伸びる」という事はバネの長さが増えるという事ですから、xは正の値です。
「縮む」ということは、バネの長さが減るという事ですから、xは負の値です。

次に、方向を考えましょう。力はベクトル量ですから、正の方向を定義する必要があります。
バネの伸びる方向を正の方向と定義します。
バネが伸びた時（xの値が正の時）、質点に働く力の方向(Fの方向)は、バネの縮む方向…つまり負の方向になります。

これを方程式であらわすと、F=-kxとなります。

ですから、もし、バネが縮む方向を、力の正の方向と定義すると、「-」の符号はとれてF=kxになります。
xは負の値ですし、Fはバネが伸びる方向に働きますから負の値になります。マイナス符号を付ける必要はありません。

お礼

分かりやすい説明をありがとうございます。
ばねに関する説明を読みますと、
F=kx
と書かれているものもあり、なぜ、
F=kx
と
F=-kx
があるのだろうと考えていました。
疑問が解けました。
ありがとうございます。

回答No.1

windwald

運動方程式は、物体に働く力を記述しますから、
あなたのご質問文のようにどのような状況にある物体なのかがわからない場合、
運動方程式をたてる以前の問題です。

まず状況の把握をしましょう。
とは言っても、あなたがどんな問題について考えているのか書かないので推測で考えます。

おそらく、とあるバネ(バネ定数k)に質量mの物体が鉛直につり下げられている場合でしょう。
鉛直下向きを正とし、バネののび(変位)をxとすると
x=0のときバネは自然長、x>0ならバネはのびている(だって正は鉛直下向き(の方向orに伸びている状態)と決めたから)
x<0ならバネは縮んでいます(鉛直下向きが正なら鉛直上向きは逆方向で負でしょ？)

お礼

ご回答ありがとうございます。（まだ、理解していません。すみません。）

解いている問題が図無しでは少し複雑と思えましたのと、いきなり「ｍａ＝ｍｇ－ｋｘ」の式から解説をされているページもありましたので、質問の趣旨をご理解頂けると思っていました。すみません。

他の問題ですが、例えば、
「質量ｍのおもりが、ばね定数ｋのばねにつるされている。つり合いの位置からＡだけ持ち上げて、静かに離す。その後の単振動の（１）振動中心でのばねの伸び、（２）ばねの最大の伸びｄmax、（３）周期Ｔ、（４）最大速度ｖmaxを求めよ。」（『漆原晃の物理I・II（力学・熱力学編）が面白い程わかる本』p217）
の（３）の場合ですが、解説には、
（ばねの力）＋（一定力ｍｇ）なので、即、Ｔ＝２π√（ｍ／ｋ）
という答えがあり、別解として、運動方程式を立てるという方法が書かれています。
その運動方程式がよく分かりません。
その別解には、位置ｘ（＞０）（ばねが伸びている状態）にある物体の運動方程式は、
ｍａ＝ｍｇ－ｋ（ｄ＋ｘ）
とあり、解答の図には、加速度（ａ）とｘ軸のプラス方向の「向きをそろえる」とありますが、加速度（ａ）が下向き（ｘ軸下（プラス）向き）になるという理由が分からないという事です。
速度が、ばねが伸びるにつれて遅くなるので、加速度（ａ）がばねの中央の方（ばねの力（ｋ（ｄ＋ｘ））、ｘ軸上（マイナス）向き）に向くと思え、運動方程式が「ｍａ＝ｋ（ｄ＋ｘ）－ｍｇ」と思えます。

もしお答え頂けるのであれば、また、お願い致します。